Решение:
Дано дифференциальное уравнение xy’ + y = 0.
1. Перепишем уравнение в более удобной форме. Мы можем выразить y’ как производную y по x:
xy’ = -y
y’ = -y/x
2. Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка и может быть решено методом разделения переменных.
3. Разделим переменные:
dy/y = -dx/x
4. Теперь интегрируем обе стороны:
∫(1/y) dy = ∫(-1/x) dx
5. Интегрируя, получаем:
ln|y| = -ln|x| + C, где C — произвольная константа интегрирования.
6. Применим свойства логарифмов:
ln|y| = ln|x|^(-1) + C
ln|y| = ln(|x|^(-1) * e^C)
7. Обозначим e^C как K (где K > 0), тогда:
|y| = K/|x|
8. Убираем модуль, учитывая, что K может быть как положительным, так и отрицательным:
y = K/x
9. Таким образом, общее решение уравнения:
y = C/x, где C — произвольная константа.
Ответ: y = C/x, где C — произвольная константа.