Решение:
1. Дано уравнение: Y = 3x^2 — 7x^3.
2. Чтобы найти критические точки функции, необходимо найти производную Y по x и приравнять её к нулю.
3. Находим производную:
Y’ = d/dx(3x^2) — d/dx(7x^3) = 6x — 21x^2.
4. Приравниваем производную к нулю:
6x — 21x^2 = 0.
5. Вынесем общий множитель:
3x(2 — 7x) = 0.
6. Теперь решим уравнение:
3x = 0 или 2 — 7x = 0.
7. Из первого уравнения получаем:
x = 0.
8. Из второго уравнения:
2 — 7x = 0 => 7x = 2 => x = 2/7.
9. Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2/7.
10. Теперь определим, является ли каждая из критических точек максимумом, минимумом или седловой точкой. Для этого используем вторую производную.
11. Находим вторую производную:
Y» = d/dx(6x — 21x^2) = 6 — 42x.
12. Подставим x = 0 в Y»:
Y»(0) = 6 — 42*0 = 6. Поскольку Y»(0) > 0, то в точке x = 0 находится минимум.
13. Подставим x = 2/7 в Y»:
Y»(2/7) = 6 — 42*(2/7) = 6 — 12 = -6. Поскольку Y»(2/7) < 0, то в точке x = 2/7 находится максимум.
14. Таким образом, мы нашли, что:
- В точке x = 0 находится минимум.
- В точке x = 2/7 находится максимум.
15. Теперь можно найти значения функции в этих точках:
- Y(0) = 3(0)^2 - 7(0)^3 = 0.
- Y(2/7) = 3(2/7)^2 - 7(2/7)^3 = 3*(4/49) - 7*(8/343) = 12/49 - 56/343.
16. Приведем к общему знаменателю для Y(2/7):
12/49 = 12*(7/7)/49 = 84/343.
Таким образом, Y(2/7) = 84/343 - 56/343 = 28/343.
17. Ответ:
- Минимум в точке x = 0, Y(0) = 0.
- Максимум в точке x = 2/7, Y(2/7) = 28/343.