Решение:
1. Определим случайную величину X. В данной задаче X – это число попаданий в мишень при трех выстрелах. Поскольку вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3, а вероятность промаха соответственно равна 0,7, мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения закона распределения X.
2. Параметры биномиального распределения:
— n = 3 (число выстрелов)
— p = 0,3 (вероятность попадания)
3. Закон распределения случайной величины X можно записать следующим образом:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 — p)^(n — k), где C(n, k) – биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n — k)!).
4. Рассчитаем вероятности для всех возможных значений X (k = 0, 1, 2, 3):
— P(X = 0):
P(X = 0) = C(3, 0) * (0,3)^0 * (0,7)^3 = 1 * 1 * 0,343 = 0,343.
— P(X = 1):
P(X = 1) = C(3, 1) * (0,3)^1 * (0,7)^2 = 3 * 0,3 * 0,49 = 0,441.
— P(X = 2):
P(X = 2) = C(3, 2) * (0,3)^2 * (0,7)^1 = 3 * 0,09 * 0,7 = 0,189.
— P(X = 3):
P(X = 3) = C(3, 3) * (0,3)^3 * (0,7)^0 = 1 * 0,027 * 1 = 0,027.
5. Теперь составим закон распределения случайной величины X:
— P(X = 0) = 0,343
— P(X = 1) = 0,441
— P(X = 2) = 0,189
— P(X = 3) = 0,027
6. Построим функцию распределения F(X):
— F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0) = 0,343
— F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,343 + 0,441 = 0,784
— F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,784 + 0,189 = 0,973
— F(3) = P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,973 + 0,027 = 1
7. Числовые характеристики случайной величины X:
— Математическое ожидание E(X) = n * p = 3 * 0,3 = 0,9.
— Дисперсия D(X) = n * p * (1 — p) = 3 * 0,3 * 0,7 = 0,630.
— Стандартное отклонение σ(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(0,630) ≈ 0,792.
Таким образом, мы получили закон распределения, функцию распределения и числовые характеристики случайной величины X.