Решение:
1. Начнем с вычисления значения арифметического выражения: 49^54 + 7^21 — 37.
2. Обратим внимание, что 49 = 7^2. Следовательно, 49^54 = (7^2)^54 = 7^(2*54) = 7^108.
3. Теперь у нас есть выражение: 7^108 + 7^21 — 37.
4. Мы можем вынести 7^21 за скобки из первых двух слагаемых: 7^21(7^(108-21) + 1) — 37 = 7^21(7^87 + 1) — 37.
5. Теперь вычислим 7^87 + 1. Это число будет очень большим, но нам нужно только его представление в системе счисления с основанием 7.
6. Поскольку 7^87 в системе счисления с основанием 7 будет представлено как 1, за которым следуют 87 нулей, то 7^87 + 1 будет представлено как 1, за которым следуют 86 нулей, и затем 1.
7. Таким образом, 7^87 + 1 в системе счисления с основанием 7 будет записано как 100…001 (где 86 нулей между единицами).
8. Теперь вернемся к выражению 7^21(7^87 + 1) — 37. Мы знаем, что 7^21 в системе счисления с основанием 7 будет представлено как 1, за которым следуют 21 нулей.
9. Умножив 7^21 на (7^87 + 1), мы получим 1, за которым следуют 21 + 86 = 107 нулей, и затем 1.
10. Таким образом, 7^21(7^87 + 1) будет записано как 100…0001 (где 107 нулей между единицами).
11. Теперь вычтем 37 из этого числа. В системе счисления с основанием 7, 37 будет представлено как 52 (5*7^1 + 2*7^0).
12. Мы должны вычесть 52 из 100…0001 (107 нулей). Для этого мы сначала вычтем 2 из последней цифры (1), что даст нам 6, и затем вычтем 5 из следующей цифры (0), что требует заимствования.
13. После заимствования, у нас будет 0 (из-за заимствования) и мы вычтем 5, что даст нам 2. Таким образом, мы получим 100…0000 (где 106 нулей) и 6 на конце.
14. Теперь у нас есть число, записанное в системе счисления с основанием 7, которое выглядит как 100…0006 (где 106 нулей).
15. В этой записи есть только одна цифра «6».
Ответ: 1.