Решение:
1. Обозначим боковое ребро правильной треугольной призмы как h = 9 см. Это высота призмы.
2. Поскольку призма правильная, основание является равносторонним треугольником. Обозначим сторону основания треугольника как a.
3. По условию задачи, диагональ боковой грани равна 15 см. Боковая грань представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна h (высота призмы), а другая сторона равна a (сторона основания).
4. Диагональ боковой грани можно найти по теореме Пифагора:
d = √(h^2 + a^2), где d — диагональ боковой грани.
Подставим известные значения:
15 = √(9^2 + a^2)
15 = √(81 + a^2)
5. Возведем обе стороны в квадрат:
15^2 = 81 + a^2
225 = 81 + a^2
6. Выразим a^2:
a^2 = 225 — 81
a^2 = 144
7. Найдем a:
a = √144
a = 12 см.
8. Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности (Sб) равна периметру основания, умноженному на высоту:
Периметр основания P = 3a = 3 * 12 = 36 см.
Sб = P * h = 36 * 9 = 324 см².
9. Теперь найдем площадь основания (Sосн) равностороннего треугольника:
Sосн = (√3 / 4) * a^2 = (√3 / 4) * 12^2 = (√3 / 4) * 144 = 36√3 см².
10. Полная площадь поверхности призмы (Sп) равна площади боковой поверхности плюс площадь двух оснований:
Sп = Sб + 2 * Sосн = 324 + 2 * 36√3.
11. Подставим значение Sосн:
Sп = 324 + 72√3 см².
Таким образом, окончательный ответ:
Площадь боковой поверхности призмы равна 324 см², полная площадь поверхности призмы равна 324 + 72√3 см².