Решение:
1. Обозначим основания трапеции как a и b, где a — основание, прилежащее к тупому углу, а b — основание, прилежащее к прямому углу.
2. По условию, средняя линия трапеции равна 14 см. Средняя линия трапеции вычисляется по формуле:
(a + b) / 2 = 14.
Умножив обе стороны на 2, получаем:
a + b = 28. (1)
3. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание b в отношении 3:1. Обозначим длину отрезка, прилежащего к тупому углу, как 3x, а длину отрезка, прилежащего к прямому углу, как x. Тогда:
b = 3x + x = 4x. (2)
4. Теперь подставим значение b из уравнения (2) в уравнение (1):
a + 4x = 28. (3)
5. Нам нужно выразить a через x. Из уравнения (3) получаем:
a = 28 — 4x. (4)
6. Теперь у нас есть два выражения: a = 28 — 4x и b = 4x.
7. Так как a и b — это основания трапеции, они должны быть положительными. Это означает, что:
28 — 4x > 0 и 4x > 0.
8. Из неравенства 4x > 0 следует, что x > 0.
9. Из неравенства 28 — 4x > 0 получаем:
28 > 4x,
x < 7.
10. Таким образом, x может принимать значения в диапазоне (0, 7).
11. Теперь найдем a и b, подставив значение x. Для этого выберем, например, x = 5 (это значение находится в допустимом диапазоне):
b = 4 * 5 = 20 см,
a = 28 - 4 * 5 = 28 - 20 = 8 см.
12. Проверим, что a и b удовлетворяют условиям задачи:
a + b = 8 + 20 = 28 см (средняя линия равна 14 см),
основание b делится на 3:1, что соответствует 20 см (3 части) и 5 см (1 часть).
13. Таким образом, основания трапеции равны:
a = 8 см и b = 20 см.
Ответ: основания трапеции равны 8 см и 20 см.