Решение:
1) Найдем путь и перемещение точки за промежуток времени от t1=1 с до t2=4 с.
Сначала найдем перемещение точки, которое определяется как разность координат в конечный и начальный моменты времени.
x(t1) = x(1) = — (1)^3 + 4*(1)^2 — 4*(1) = -1 + 4 — 4 = -1 м
x(t2) = x(4) = — (4)^3 + 4*(4)^2 — 4*(4) = -64 + 64 — 16 = -16 м
Перемещение (S) будет равно:
S = x(t2) — x(t1) = -16 — (-1) = -16 + 1 = -15 м
Теперь найдем путь. Путь — это сумма всех пройденных расстояний, независимо от направления. Для этого нужно определить, меняла ли точка направление движения.
Для этого найдем скорость точки, которая равна производной от x(t):
v(t) = dx/dt = -3t^2 + 8t — 4
Теперь найдем моменты времени, когда скорость равна нулю:
-3t^2 + 8t — 4 = 0
Умножим уравнение на -1:
3t^2 — 8t + 4 = 0
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 — 4ac = (-8)^2 — 4*3*4 = 64 — 48 = 16
t1 = (8 + sqrt(16)) / (2*3) = (8 + 4) / 6 = 12 / 6 = 2
t2 = (8 — sqrt(16)) / (2*3) = (8 — 4) / 6 = 4 / 6 = 2/3
Теперь определим, в какие моменты времени точка меняет направление. Мы видим, что скорость равна нулю в t = 2 с.
Теперь проверим, как меняется положение точки на интервале [1, 4]:
— В интервале [1, 2] (t1=1, t=2) перемещение: x(2) = — (2)^3 + 4*(2)^2 — 4*(2) = -8 + 16 — 8 = 0 м
— В интервале [2, 4] (t=2, t2=4) перемещение: x(4) = -16 м
Теперь найдем путь:
Путь = |x(1) — x(2)| + |x(2) — x(4)| = |-1 — 0| + |0 — (-16)| = 1 + 16 = 17 м.
2) Найдем среднюю скорость и среднее ускорение точки за этот промежуток.
Средняя скорость (Vср) определяется как перемещение, деленное на время:
Vср = S / (t2 — t1) = -15 / (4 — 1) = -15 / 3 = -5 м/с.
Теперь найдем среднее ускорение (Aср). Ускорение — это производная скорости:
a(t) = dv/dt = -6t + 8.
Теперь найдем среднее ускорение за промежуток времени от t1=1 до t2=4:
aср = (a(t2) — a(t1)) / (t2 — t1).
Сначала найдем a(1) и a(4):
a(1) = -6*(1) + 8 = 2 м/с^2,
a(4) = -6*(4) + 8 = -24 + 8 = -16 м/с^2.
Теперь подставим в формулу:
Aср = (-16 — 2) / (4 — 1) = -18 / 3 = -6 м/с^2.
3) Найдем скорость и ускорение точки в момент времени t = 2/3 с.
Сначала найдем скорость:
v(2/3) = -3*(2/3)^2 + 8*(2/3) — 4 = -3*(4/9) + (16/3) — 4 = -4/3 + 16/3 — 12/3 = 0 м/с.
Теперь найдем ускорение:
a(2/3) = -6*(2/3) + 8