Решение:
1. Определим общее количество жильцов в десятиэтажном доме. Пусть на каждом этаже живёт n жильцов. Тогда общее количество жильцов в доме будет 10n.
2. Из условия задачи нам известно, что мы опрашиваем 158 жильцов. Мы хотим найти вероятность того, что из этих 158 опрошенных жильцов на первом этаже проживает не менее 17 человек.
3. Предположим, что жильцы распределены равномерно по этажам. Тогда вероятность того, что случайно выбранный жилец живёт на первом этаже, равна 1/10, так как в доме 10 этажей.
4. Обозначим X — количество жильцов, проживающих на первом этаже среди 158 опрошенных. X подчиняется биномиальному распределению с параметрами n = 158 и p = 1/10.
5. Мы ищем вероятность P(X >= 17). Для этого удобно использовать нормальное приближение биномиального распределения, так как n = 158 достаточно велико.
6. Рассчитаем математическое ожидание и дисперсию биномиального распределения:
— Математическое ожидание E(X) = n * p = 158 * (1/10) = 15.8.
— Дисперсия Var(X) = n * p * (1 — p) = 158 * (1/10) * (9/10) = 142.2.
7. Стандартное отклонение σ = sqrt(Var(X)) = sqrt(142.2) ≈ 11.9.
8. Теперь мы можем использовать нормальное распределение для приближенного вычисления вероятности. Поскольку X имеет биномиальное распределение, мы можем использовать нормальное распределение с параметрами:
— Математическое ожидание μ = 15.8,
— Стандартное отклонение σ ≈ 11.9.
9. Преобразуем неравенство P(X >= 17) в стандартную нормальную форму:
Z = (X — μ) / σ.
Для X = 17:
Z = (17 — 15.8) / 11.9 ≈ 0.1.
10. Теперь находим вероятность P(Z >= 0.1) с помощью таблицы стандартного нормального распределения.
P(Z >= 0.1) = 1 — P(Z < 0.1).
11. По таблице стандартного нормального распределения P(Z < 0.1) ≈ 0.5398. Следовательно, P(Z >= 0.1) ≈ 1 — 0.5398 = 0.4602.
12. Таким образом, вероятность того, что из 158 случайно опрошенных жильцов на первом этаже проживает не менее 17 человек, составляет примерно 0.4602 или 46.02%.
Ответ: Вероятность того, что из 158 случайно опрошенных жильцов на первом этаже проживает не менее 17 человек, составляет примерно 46.02%.