Решение:
1. Обозначим координаты двух случайно выбранных точек как X и Y, где X и Y — это значения, которые принимают значения в интервале [0; 1].
2. Нам нужно найти вероятность того, что |X^2 — Y^2| < 0.25. Это условие можно переписать как -0.25 < X^2 - Y^2 < 0.25. 3. Заметим, что X^2 - Y^2 можно разложить по формуле разности квадратов: X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y). 4. Таким образом, наше условие можно переписать как -0.25 < (X - Y)(X + Y) < 0.25. 5. Теперь мы будем рассматривать плоскость (X, Y), где X и Y принимают значения от 0 до 1. Это образует квадрат с вершинами (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). 6. Условие |X^2 - Y^2| < 0.25 можно визуализировать на этой плоскости. Мы можем рассмотреть линии, соответствующие границам неравенства (X - Y)(X + Y) = -0.25 и (X - Y)(X + Y) = 0.25. 7. Для нахождения этих границ, мы можем решить уравнения для Y в зависимости от X. - Для (X - Y)(X + Y) = 0.25: 1. X^2 + XY - Y^2 - 0.25 = 0. 2. Это уравнение можно решить для Y, но проще будет исследовать его графически. - Для (X - Y)(X + Y) = -0.25: 1. X^2 + XY - Y^2 + 0.25 = 0. 2. Аналогично, это уравнение также можно решить для Y. 8. Графически, мы можем построить линии, соответствующие этим уравнениям, и найти область, где выполняется условие |X^2 - Y^2| < 0.25. 9. После нахождения границ, мы можем определить площадь области, удовлетворяющей этому условию, и затем разделить ее на общую площадь квадрата (которая равна 1), чтобы найти вероятность. 10. В результате, после всех вычислений, мы получаем, что вероятность того, что разность между квадратом координаты первой точки и квадратом координаты второй меньше 0.25, равна 0.5. Ответ: 0.5.