Решение:
1. Дано: вероятность успеха p = 0,2 и q^(k-1) = 0,512, где q = 1 — p = 0,8.
2. Мы знаем, что q^(k-1) = 0,512. Подставим значение q:
(0,8)^(k-1) = 0,512.
3. Теперь найдем k-1. Для этого возьмем логарифм обеих сторон уравнения:
k — 1 = log(0,512) / log(0,8).
4. Вычислим логарифмы:
log(0,512) ≈ -0,290 и log(0,8) ≈ -0,096.
5. Теперь подставим значения:
k — 1 = -0,290 / -0,096 ≈ 3,021.
6. Таким образом, k ≈ 3,021 + 1 = 4,021. Округляем до целого числа, получаем k = 4.
7. Теперь найдем вероятность успеха на k-м шаге. Вероятность успеха на k-м шаге в геометрическом распределении определяется формулой:
P(X = k) = p * q^(k-1).
8. Подставим известные значения:
P(X = 4) = 0,2 * (0,8)^(4-1) = 0,2 * (0,8)^3.
9. Вычислим (0,8)^3:
(0,8)^3 = 0,512.
10. Теперь подставим это значение в формулу:
P(X = 4) = 0,2 * 0,512 = 0,1024.
11. Округляем до тысячных:
P(X = 4) ≈ 0,102.
Ответ: 0,102.