Решение:
1. Обозначим математическое ожидание случайной величины X как E(X) = μ, а дисперсию как Var(X) = σ².
2. Условие задачи говорит о том, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания больше или равно 1,5 с вероятностью 0,05. Это можно записать как:
P(|X — μ| ≥ 1.5) = 0.05.
3. Используем неравенство Чебышёва, которое гласит, что для любой случайной величины X с конечным математическим ожиданием и дисперсией выполняется:
P(|X — μ| ≥ k) ≤ Var(X) / k²,
где k — любое положительное число.
4. В нашем случае k = 1.5. Подставим это значение в неравенство Чебышёва:
P(|X — μ| ≥ 1.5) ≤ σ² / (1.5)².
5. Из условия задачи мы знаем, что P(|X — μ| ≥ 1.5) = 0.05. Подставим это в неравенство:
0.05 ≤ σ² / (1.5)².
6. Вычислим (1.5)²:
(1.5)² = 2.25.
7. Подставим это значение в неравенство:
0.05 ≤ σ² / 2.25.
8. Умножим обе стороны неравенства на 2.25:
0.05 * 2.25 ≤ σ²,
0.1125 ≤ σ².
9. Таким образом, мы получили, что дисперсия σ² должна быть больше или равна 0.1125.
10. В итоге, возможные значения дисперсии случайной величины X могут быть оценены как:
σ² ≥ 0.1125.
Ответ: Дисперсия случайной величины X должна быть больше или равна 0.1125.