Решение:
1. Определим количество задач в каждом конверте до перекладывания:
— В 1 конверте: 10 простых задач и 5 задач повышенной сложности. Всего 15 задач.
— Во 2 конверте: 4 простые задачи и 6 задач повышенной сложности. Всего 10 задач.
— В 3 конверте: 8 простых задач и 4 задачи повышенной сложности. Всего 12 задач.
2. Перекладываем 1 задачу из 3 конверта во 2 конверт. Возможные варианты:
— Перекладываем простую задачу: 1 простая задача, 4 простые задачи и 6 повышенной сложности во 2 конверте (итого 5 простых и 6 повышенной).
— Перекладываем задачу повышенной сложности: 8 простых задач и 1 повышенной сложности во 2 конверте (итого 4 простых и 7 повышенной).
3. Теперь во 2 конверте:
— Если перекладываем простую задачу: 5 простых и 6 повышенной (всего 11 задач).
— Если перекладываем повышенную задачу: 4 простых и 7 повышенной (всего 11 задач).
4. Теперь перекладываем 2 задачи из 2 конверта в 1 конверт. Рассмотрим оба случая.
**Случай 1: Перекладываем простую задачу из 3 конверта.**
— Вероятности:
— Вероятность взять 2 простые задачи: (5/11) * (4/10) = 20/110 = 2/11.
— Вероятность взять 1 простую и 1 повышенную: (5/11) * (7/10) + (6/11) * (4/10) = 35/110 + 24/110 = 59/110.
— Вероятность взять 2 повышенные задачи: (6/11) * (5/10) = 30/110 = 3/11.
Теперь в 1 конверте:
— 10 + 2 = 12 простых и 5 + 0 = 5 повышенных (итого 17 задач).
— Вероятность взять простую задачу: 12/17.
**Случай 2: Перекладываем повышенную задачу из 3 конверта.**
— Вероятности:
— Вероятность взять 2 простые задачи: (4/11) * (3/10) = 12/110 = 6/55.
— Вероятность взять 1 простую и 1 повышенную: (4/11) * (7/10) + (7/11) * (3/10) = 28/110 + 21/110 = 49/110.
— Вероятность взять 2 повышенные задачи: (7/11) * (6/10) = 42/110 = 21/55.
Теперь в 1 конверте:
— 10 + 0 = 10 простых и 5 + 2 = 7 повышенных (итого 17 задач).
— Вероятность взять простую задачу: 10/17.
5. Теперь найдем общую вероятность того, что студент возьмет простую задачу:
— Вероятность первого случая (перекладываем простую задачу) = 10/22 = 5/11.
— Вероятность второго случая (перекладываем повышенную задачу) = 12/22 = 6/11.
Общая вероятность:
— P(простая задача) = P(случай 1) * P(простая | случай 1) + P(случай 2) * P(простая | случай 2)
— = (5/11) * (12/17) + (6/11) * (10/17)
— = (60/187) + (60/187) = 120/187.
Ответ: Вероятность того, что студент возьмет простую задачу, равна 120/187.