Решение:
1. Определим известные данные:
— Общее количество респондентов (n) = 200
— Средний уровень социального благополучия (μ) = 53.5
— Стандартное отклонение (σ) = 32
— Мы хотим найти вероятность того, что выборочная средняя (X̄) будет больше 48.
2. Поскольку мы имеем дело с выборочной средней, мы можем использовать центральную предельную теорему. Эта теорема утверждает, что при достаточно большом размере выборки (в данном случае n = 200), распределение выборочной средней будет приближаться к нормальному распределению, даже если исходное распределение не является нормальным.
3. Рассчитаем стандартную ошибку выборочной средней (SE):
SE = σ / √n = 32 / √200 ≈ 2.26.
4. Теперь мы можем стандартизировать значение 48, чтобы найти его Z-оценку:
Z = (X̄ — μ) / SE = (48 — 53.5) / 2.26 ≈ -2.44.
5. Теперь нам нужно найти вероятность того, что Z > -2.44. Для этого мы можем использовать таблицу стандартного нормального распределения или калькулятор.
6. Найдем вероятность для Z = -2.44. Обычно таблицы показывают вероятность того, что Z меньше данного значения. Для Z = -2.44 эта вероятность примерно равна 0.0074.
7. Чтобы найти вероятность того, что Z больше -2.44, вычтем полученное значение из 1:
P(Z > -2.44) = 1 — P(Z < -2.44) ≈ 1 - 0.0074 = 0.9926.
8. Таким образом, вероятность того, что выборочная средняя оценка социального благополучия окажется выше 48 баллов, составляет примерно 0.9926 или 99.26%.
Ответ: Вероятность того, что выборочная средняя оценка социального благополучия окажется выше 48 баллов, составляет примерно 99.26%.