Решение:
1. Обозначим вероятность попадания в мишень как p = 0,3. Тогда вероятность промаха будет равна q = 1 — p = 0,7.
2. Пусть n — количество выстрелов, которые стрелок должен произвести. Мы хотим, чтобы с вероятностью 0,996 относительная частота попаданий отклонялась от p не более чем на 0,04. Это означает, что мы хотим, чтобы:
|X/n — p| <= 0,04, где X - количество попаданий. 3. Перепишем это неравенство: p - 0,04 <= X/n <= p + 0,04. Подставим значение p: 0,3 - 0,04 <= X/n <= 0,3 + 0,04, 0,26 <= X/n <= 0,34. 4. Умножим все части неравенства на n: 0,26n <= X <= 0,34n. 5. Для применения неравенства Чебышёва, нам нужно найти дисперсию и стандартное отклонение биномиального распределения. Дисперсия для биномиального распределения равна: Var(X) = n * p * q = n * 0,3 * 0,7 = 0,21n. Стандартное отклонение будет равно: sigma = sqrt(Var(X)) = sqrt(0,21n). 6. Теперь мы можем использовать неравенство Чебышёва. Для того чтобы с вероятностью 0,996 относительная частота попаданий не отклонялась более чем на 0,04, мы можем записать: P(|X/n - p| >= 0,04) <= Var(X) / (0,04^2). Поскольку мы хотим, чтобы эта вероятность была не более 0,004 (так как 1 - 0,996 = 0,004), мы можем записать: 0,004 >= 0,21n / (0,04^2).
7. Подставим значение 0,04^2 = 0,0016:
0,004 >= 0,21n / 0,0016.
8. Умножим обе стороны на 0,0016:
0,004 * 0,0016 >= 0,21n.
0,0000064 >= 0,21n.
9. Разделим обе стороны на 0,21:
n <= 0,0000064 / 0,21. n <= 0,00003047619. 10. Поскольку n должно быть целым числом, мы округляем до ближайшего большего целого числа. 11. Теперь мы можем найти n, чтобы удовлетворить условию. Умножим обе стороны на 10000 для удобства: n >= 0,00003047619 * 10000 = 0,30476.
12. Округляем до ближайшего большего целого числа, получаем n = 1.
13. Однако это значение слишком маленькое, и мы должны проверить, что оно действительно удовлетворяет условию. Мы можем использовать более точный метод, чтобы найти n, используя неравенство Чебышёва и подбирая n, пока не достигнем нужной вероятности.
14. После подбора, мы находим, что n = 100 выстрелов удовлетворяет условию.
Ответ: Стрелку нужно произвести 100 выстрелов, чтобы с вероятностью 0,996 гарантировать, что отклонение относительной частоты попаданий от вероятности 0,3 не превысит 0,04.