Решение:
1. **Определение функции плотности вероятности**:
Функция плотности вероятности (pdf) связана с функцией распределения вероятностей (cdf) следующим образом: f(x) = dF(x)/dx. Это означает, что мы должны взять производную функции F(x) по x.
2. **Вычисление производной**:
Дана функция F(x) = x^2 — 2x + 2 для 0 < x ≤ 2. Найдем производную:
f(x) = dF(x)/dx = d(x^2 - 2x + 2)/dx = 2x - 2.
3. **Определение области определения функции плотности**:
Поскольку F(x) задана только для 0 < x ≤ 2, то и f(x) будет определена в этой же области. Таким образом, f(x) = 2x - 2 для 0 < x ≤ 2, и f(x) = 0 в остальных случаях.
4. **Запись функции плотности вероятности**:
f(x) = 2x - 2 при 0 < x ≤ 2; f(x) = 0 в остальных случаях.
5. **Вычисление математического ожидания**:
Математическое ожидание E(X) вычисляется по формуле:
E(X) = ∫ x * f(x) dx от 0 до 2.
Подставим f(x):
E(X) = ∫ (x * (2x - 2)) dx от 0 до 2.
Упростим интеграл:
E(X) = ∫ (2x^2 - 2x) dx от 0 до 2.
Теперь вычислим интеграл:
E(X) = [ (2/3)x^3 - x^2 ] от 0 до 2.
Подставим пределы:
E(X) = (2/3)*(2^3) - (2^2) = (2/3)*8 - 4 = (16/3) - 4 = (16/3) - (12/3) = 4/3.
6. **Вычисление дисперсии**:
Дисперсия Var(X) вычисляется по формуле:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Сначала найдем E(X^2):
E(X^2) = ∫ x^2 * f(x) dx от 0 до 2.
Подставим f(x):
E(X^2) = ∫ (x^2 * (2x - 2)) dx от 0 до 2.
Упростим интеграл:
E(X^2) = ∫ (2x^3 - 2x^2) dx от 0 до 2.
Теперь вычислим интеграл:
E(X^2) = [ (1/2)x^4 - (2/3)x^3 ] от 0 до 2.
Подставим пределы:
E(X^2) = (1/2)*(2^4) - (2/3)*(2^3) = (1/2)*16 - (2/3)*8 = 8 - (16/3) = (24/3) - (16/3) = 8/3.
7. **Вычисление дисперсии**:
Теперь подставим значения в формулу для дисперсии:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = (8/3) - (4/3)^2 = (8/3) - (16/9).
Приведем к общему знаменателю:
Var(X) = (24/9) - (16/9) = 8/9.
8. **Ответ**:
Функция плотности вероятности: f(x) = 2x - 2 при 0 < x ≤ 2; f(x) = 0 в остальных случаях.
Математическое ожидание: E(X) = 4/3.
Дисперсия: Var(X) = 8/9.