Решение:
1. Записать закон распределения для указанной дискретной случайной величины Х.
В данной задаче у нас есть 5 изделий, из которых 3 стандартных и 2 нестандартных. Мы отбираем 3 изделия. Случайная величина Х — это число нестандартных изделий среди отобранных.
Возможные значения Х: 0, 1, 2. Теперь найдем вероятности для каждого значения.
— P(X = 0): Это означает, что мы отобрали 3 стандартных изделия. Количество способов выбрать 3 стандартных из 3: C(3, 3) = 1. Количество способов выбрать 0 нестандартных из 2: C(2, 0) = 1. Общее количество способов выбрать 3 изделия из 5: C(5, 3) = 10. Таким образом, P(X = 0) = (C(3, 3) * C(2, 0)) / C(5, 3) = (1 * 1) / 10 = 0.1.
— P(X = 1): Это означает, что мы отобрали 2 стандартных и 1 нестандартное изделие. Количество способов выбрать 2 стандартных из 3: C(3, 2) = 3. Количество способов выбрать 1 нестандартное из 2: C(2, 1) = 2. Таким образом, P(X = 1) = (C(3, 2) * C(2, 1)) / C(5, 3) = (3 * 2) / 10 = 0.6.
— P(X = 2): Это означает, что мы отобрали 1 стандартное и 2 нестандартных изделия. Количество способов выбрать 1 стандартное из 3: C(3, 1) = 3. Количество способов выбрать 2 нестандартных из 2: C(2, 2) = 1. Таким образом, P(X = 2) = (C(3, 1) * C(2, 2)) / C(5, 3) = (3 * 1) / 10 = 0.3.
Итак, закон распределения случайной величины Х:
P(X = 0) = 0.1,
P(X = 1) = 0.6,
P(X = 2) = 0.3.
2. Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(X).
— Математическое ожидание M(X):
M(X) = Σ [x * P(X = x)] = 0 * 0.1 + 1 * 0.6 + 2 * 0.3 = 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2.
— Дисперсия D(X):
D(X) = Σ [(x — M(X))^2 * P(X = x)].
Сначала найдем (x — M(X))^2 для каждого x:
(0 — 1.2)^2 = 1.44,
(1 — 1.2)^2 = 0.04,
(2 — 1.2)^2 = 0.64.
Теперь вычислим дисперсию:
D(X) = 1.44 * 0.1 + 0.04 * 0.6 + 0.64 * 0.3 = 0.144 + 0.024 + 0.192 = 0.36.
— Среднее квадратическое отклонение σ(X):
σ(X) = √D(X) = √0.36 = 0.6.
3. Найти функцию распределения F(x) и построить график функции распределения.
Функция распределения F(x) — это сумма вероятностей для всех значений, меньших или равных x.
— F(0) = P(X = 0) = 0.1.
— F(1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.1 + 0.6 = 0.7.
— F(2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.1 + 0.6 + 0.3 = 1.
Таким образом, функция распределения F(x) выглядит следующим образом:
F(x) = 0, если x < 0, F(x) = 0.1, если 0 ≤ x <