Решение:
1) Сначала составим статистическую функцию распределения X. Для этого найдем кумулятивные частоты (F(x)) для каждого значения xi.
— Для x1 = 10: F(10) = n1 = 23
— Для x2 = 15: F(15) = n1 + n2 = 23 + 22 = 45
— Для x3 = 20: F(20) = n1 + n2 + n3 = 23 + 22 + 25 = 70
— Для x4 = 25: F(25) = n1 + n2 + n3 + n4 = 23 + 22 + 25 + 21 = 91
— Для x5 = 30: F(30) = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 23 + 22 + 25 + 21 + 22 = 113
— Для x6 = 35: F(35) = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = 23 + 22 + 25 + 21 + 22 + 24 = 137
Теперь найдем относительные частоты (f(x)):
— f(10) = n1 / N = 23 / 137
— f(15) = n2 / N = 22 / 137
— f(20) = n3 / N = 25 / 137
— f(25) = n4 / N = 21 / 137
— f(30) = n5 / N = 22 / 137
— f(35) = n6 / N = 24 / 137
Теперь можем записать функцию распределения:
F(x) =
— 0,168 (для x <= 10)
- 0,328 (для x <= 15)
- 0,511 (для x <= 20)
- 0,663 (для x <= 25)
- 0,825 (для x <= 30)
- 1,000 (для x <= 35)
2) Построим график функции распределения. На оси X откладываем значения xi, а на оси Y - соответствующие значения F(x). График будет представлять собой ступенчатую функцию, которая будет подниматься в точках xi.
3) Рассчитаем выборочное среднее (M):
M = (Σ(xi * ni)) / N, где N = Σni = 137.
Считаем:
M = (10*23 + 15*22 + 20*25 + 25*21 + 30*22 + 35*24) / 137
= (230 + 330 + 500 + 525 + 660 + 840) / 137
= 2085 / 137 ≈ 15,24.
Теперь рассчитаем выборочную дисперсию (D):
D = (Σ(ni * (xi - M)^2)) / (N - 1).
Сначала найдем (xi - M)^2 для каждого xi:
- (10 - 15,24)^2 = 27,2976
- (15 - 15,24)^2 = 0,0576
- (20 - 15,24)^2 = 22,2976
- (25 - 15,24)^2 = 93,2976
- (30 - 15,24)^2 = 220,0576
- (35 - 15,24)^2 = 392,0576
Теперь умножим на ni и сложим:
D = (23*27,2976 + 22*0,0576 + 25*22,2976 + 21*93,2976 + 22*220,0576 + 24*392,0576) / (137 - 1)
= (628,855 + 1,2672 + 557,44 + 1959,25 + 4841,2672 + 9409,38) / 136
= 13798,0592 / 136 ≈ 101.47.
Теперь найдем выборочное среднее квадратическое отклонение (σ):
σ = √D ≈ √101.47 ≈ 10.07.
Теперь рассчитаем исправленную выборочную дисперсию (D*), которая учитывает поправку на смещение:
D* = D * (N / (N - 1)) = 101.47 * (137 / 136) ≈ 101.47 * 1.00735 ≈ 102.