Решение:
1. **Найдем математическое ожидание (E(X))**. Для этого используем формулу:
E(X) = Σ (x_i * p_i), где x_i — значения случайной величины, p_i — соответствующие вероятности.
Подставим значения:
E(X) = 1 * 0.15 + 2 * 0.25 + 3 * 0.40 + 4 * 0.20
= 0.15 + 0.50 + 1.20 + 0.80
= 2.65.
2. **Найдем дисперсию (D(X))**. Для этого используем формулу:
D(X) = E(X^2) — (E(X))^2.
Сначала найдем E(X^2):
E(X^2) = Σ (x_i^2 * p_i).
Подставим значения:
E(X^2) = 1^2 * 0.15 + 2^2 * 0.25 + 3^2 * 0.40 + 4^2 * 0.20
= 0.15 + 1.00 + 3.60 + 3.20
= 8.95.
Теперь найдем дисперсию:
D(X) = E(X^2) — (E(X))^2
= 8.95 — (2.65)^2
= 8.95 — 7.0225
= 1.9275.
3. **Найдем стандартное отклонение (σ)**:
σ = √D(X) = √1.9275 ≈ 1.387.
4. **Найдем коэффициент асимметрии (γ1)**. Формула для коэффициента асимметрии:
γ1 = (E(X^3) — 3 * E(X) * D(X) — (E(X))^3) / (σ^3).
Сначала найдем E(X^3):
E(X^3) = Σ (x_i^3 * p_i).
Подставим значения:
E(X^3) = 1^3 * 0.15 + 2^3 * 0.25 + 3^3 * 0.40 + 4^3 * 0.20
= 0.15 + 2.00 + 10.80 + 32.00
= 45.95.
Теперь подставим все в формулу для γ1:
γ1 = (45.95 — 3 * 2.65 * 1.9275 — (2.65)^3) / (1.387)^3
= (45.95 — 15.309375 — 18.61) / 2.669
= (45.95 — 33.919375) / 2.669
= 12.030625 / 2.669
≈ 4.50.
5. **Найдем коэффициент эксцесса (γ2)**. Формула для коэффициента эксцесса:
γ2 = (E(X^4) — 4 * E(X^3) * E(X) + 6 * E(X^2) * (E(X))^2 — 3 * (E(X))^4) / (σ^4).
Сначала найдем E(X^4):
E(X^4) = Σ (x_i^4 * p_i).
Подставим значения:
E(X^4) = 1^4 * 0.15 + 2^4 * 0.25 + 3^4 * 0.40 + 4^4 * 0.20
= 0.15 + 4.00 + 40.80 + 128.00
= 172.95.
Теперь подставим все в формулу для γ2:
γ2 = (172.95 — 4 * 45.95 * 2.65 + 6 * 8.95 * (2.65)^2 — 3 * (2.65)^4) / (1.387)^4
= (172.95 — 487.63 + 6 * 8.95 * 7.0225 — 3 * 50.627625) / 2.309
= (172.95 — 487.63 + 376.56 — 151.882875) / 2.309
= (-89.