Решение:
Для решения задачи используем формулу Байеса для вычисления условной вероятности. Нам нужно найти вероятность того, что человек действительно перенес инфекцию (А), при условии, что тест показал положительный результат (B). Это можно записать как P(A|B).
Сначала определим необходимые значения:
1. P(A) — вероятность того, что человек действительно перенес инфекцию (истинноположительные результаты):
Из 50000 пациентов 90 человек действительно перенесли инфекцию.
P(A) = 90 / 50000 = 0.0018.
2. P(B|A) — вероятность положительного результата теста, если человек действительно перенес инфекцию (истинноположительные результаты):
P(B|A) = 90 / 90 = 1 (так как все истинноположительные результаты — это те, кто действительно перенес инфекцию).
3. P(B|¬A) — вероятность положительного результата теста, если человек не перенес инфекцию (ложноположительные результаты):
Из 50000 пациентов 47405 получили ложноположительные результаты.
P(B|¬A) = 47405 / (50000 — 90) = 47405 / 49910 ≈ 0.950.
4. P(¬A) — вероятность того, что человек не перенес инфекцию:
P(¬A) = (50000 — 90) / 50000 = 49910 / 50000 = 0.9982.
Теперь можем использовать формулу полной вероятности для P(B):
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)
= 1 * 0.0018 + 0.950 * 0.9982
= 0.0018 + 0.94829
≈ 0.95009.
Теперь можем найти P(A|B) с помощью формулы Байеса:
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)
= (1 * 0.0018) / 0.95009
≈ 0.001894.
Таким образом, вероятность того, что данный человек действительно перенес инфекцию, если тест показал положительный результат, составляет примерно 0.001894 или 0.1894%.