Решение:
Для решения задачи будем использовать схему Бернулли, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (отбор коконов), два возможных исхода (цветной или нецветной кокон) и постоянная вероятность успеха.
Дано:
— Вероятность того, что кокон цветной (p) = 30% = 0.3
— Вероятность того, что кокон нецветной (q) = 1 — p = 0.7
— Количество отобранных коконов (n) = 10 для части а) и 15 для части б)
а) Найти вероятность того, что среди 10 отобранных в случайном порядке коконов цветных будет 3.
1. Используем формулу для вероятности в схеме Бернулли:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где C(n, k) — биномиальный коэффициент, который равен n! / (k! * (n — k)!).
2. Подставляем значения:
n = 10, k = 3, p = 0.3, q = 0.7.
3. Находим биномиальный коэффициент C(10, 3):
C(10, 3) = 10! / (3! * (10 — 3)!) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120.
4. Теперь подставляем в формулу:
P(X = 3) = C(10, 3) * (0.3)^3 * (0.7)^(10-3) = 120 * (0.3)^3 * (0.7)^7.
5. Вычисляем:
(0.3)^3 = 0.027,
(0.7)^7 ≈ 0.0823543.
6. Умножаем:
P(X = 3) = 120 * 0.027 * 0.0823543 ≈ 0.267.
Таким образом, вероятность того, что среди 10 отобранных коконов цветных будет 3, составляет примерно 0.267.
б) Найти наивероятнейшее число цветных коконов среди 15 случайно отобранных.
1. Наивероятнейшее число цветных коконов (k) в схеме Бернулли можно найти по формуле:
k = n * p,
где n = 15, p = 0.3.
2. Подставляем значения:
k = 15 * 0.3 = 4.5.
3. Поскольку количество коконов должно быть целым, мы округляем до ближайшего целого числа. Наивероятнейшее количество цветных коконов будет 4 или 5.
Таким образом, наивероятнейшее число цветных коконов среди 15 случайно отобранных составляет 4 или 5.