Решение:
Для решения задачи будем использовать формулу для вероятности успеха в независимых испытаниях. В данном случае вероятность успеха (сдачи зачета с первого раза) равна 0.85, а вероятность неудачи (не сдачи зачета с первого раза) равна 0.15.
а) Найдем вероятность того, что ровно 6 студентов сдадут зачет с первого раза.
1. Определим количество способов выбрать 6 студентов из 7. Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента C(7, 6) = 7.
2. Вероятность того, что 6 студентов сдадут зачет, а 1 не сдаст, равна (0.85)^6 * (0.15)^1.
3. Перемножим количество способов и вероятность: P(6) = C(7, 6) * (0.85)^6 * (0.15)^1 = 7 * (0.85)^6 * (0.15).
Теперь подставим значения и посчитаем:
P(6) = 7 * (0.85)^6 * (0.15) ≈ 7 * 0.4437 * 0.15 ≈ 0.4659.
Ответ: Вероятность того, что ровно 6 студентов сдадут зачет с первого раза, примерно равна 0.4659.
б) Найдем вероятность того, что не менее 5 студентов сдадут зачет с первого раза.
1. Это означает, что мы должны найти вероятность для 5, 6 и 7 студентов.
2. Сначала найдем P(5):
— C(7, 5) = 21.
— P(5) = C(7, 5) * (0.85)^5 * (0.15)^2 = 21 * (0.85)^5 * (0.15)^2.
— P(5) ≈ 21 * 0.3770 * 0.0225 ≈ 0.1770.
3. Теперь P(6) мы уже нашли, это 0.4659.
4. Найдем P(7):
— C(7, 7) = 1.
— P(7) = C(7, 7) * (0.85)^7 * (0.15)^0 = 1 * (0.85)^7.
— P(7) ≈ 0.85^7 ≈ 0.3960.
5. Теперь сложим все вероятности: P(не менее 5) = P(5) + P(6) + P(7) ≈ 0.1770 + 0.4659 + 0.3960 ≈ 1.0389.
Ответ: Вероятность того, что не менее 5 студентов сдадут зачет с первого раза, примерно равна 1.0389.
в) Найдем вероятность того, что не более 4 студентов сдадут зачет с первого раза.
1. Это означает, что мы должны найти вероятность для 0, 1, 2, 3 и 4 студентов.
2. Сначала найдем P(0):
— C(7, 0) = 1.
— P(0) = C(7, 0) * (0.85)^0 * (0.15)^7 = 1 * 1 * (0.15)^7 ≈ 0.0003.
3. Теперь P(1):
— C(7, 1) = 7.
— P(1) = C(7, 1) * (0.85)^1 * (0.15)^6 = 7 * (0.85) * (0.15)^6 ≈ 7 * 0.85 * 0.00011 ≈ 0.0006.
4. Теперь P(2):
— C(7, 2) = 21.
— P(2) = C(7, 2) * (0.85)^2 * (0.15)^5 = 21 * (0.85)^2 * (0.15)^5 ≈ 21 * 0.7225 * 0.0005 ≈ 0.0075.
5. Теперь P(3):
— C(7, 3) = 35.
— P(3) = C(7, 3) * (0.85)^3 * (0.15)^4 = 35 * (0.85)^3 * (0.15)^4 ≈