Решение:
1. Определим задачу. У нас есть 5 орудий, каждое из которых имеет вероятность попадания в цель 0,4. Мы хотим найти вероятность того, что в цель попали не более 4 орудий.
2. Обозначим количество попаданий в цель как X. X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 5 (количество орудий) и p = 0,4 (вероятность попадания).
3. Мы ищем вероятность P(X ≤ 4). Это можно выразить как:
P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4).
4. Используем формулу для биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 — p)^(n — k),
где C(n, k) — биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n — k)!).
5. Рассчитаем каждую из вероятностей:
— Для k = 0:
P(X = 0) = C(5, 0) * (0,4)^0 * (0,6)^5 = 1 * 1 * 0,07776 = 0,07776.
— Для k = 1:
P(X = 1) = C(5, 1) * (0,4)^1 * (0,6)^4 = 5 * 0,4 * 0,1296 = 0,2592.
— Для k = 2:
P(X = 2) = C(5, 2) * (0,4)^2 * (0,6)^3 = 10 * 0,16 * 0,216 = 0,3456.
— Для k = 3:
P(X = 3) = C(5, 3) * (0,4)^3 * (0,6)^2 = 10 * 0,064 * 0,36 = 0,2304.
— Для k = 4:
P(X = 4) = C(5, 4) * (0,4)^4 * (0,6)^1 = 5 * 0,0256 * 0,6 = 0,0768.
6. Теперь сложим все найденные вероятности:
P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= 0,07776 + 0,2592 + 0,3456 + 0,2304 + 0,0768
= 0,98976.
7. Таким образом, вероятность того, что в цель попали не более четырех орудий, равна 0,98976.
Ответ: 0,98976.