Решение:
1. **Определение плотности вероятности**: У нас есть плотность вероятности f(x), которая задана следующим образом:
— f(x) = 0, при x < 1
- f(x) = A(2x - 1), при 1 < x < 2
2. **Нахождение параметра A**: Для того чтобы f(x) была корректной плотностью вероятности, необходимо, чтобы интеграл f(x) по всему пространству равнялся 1. То есть:
∫[1, 2] A(2x - 1) dx = 1
Вычислим интеграл:
∫(2x - 1) dx = [x^2 - x] от 1 до 2
= (2^2 - 2) - (1^2 - 1) = (4 - 2) - (1 - 1) = 2
Теперь подставим в уравнение:
A * 2 = 1
A = 1/2
3. **Функция распределения F(x)**: Функция распределения F(x) определяется как интеграл плотности вероятности от -∞ до x. Мы можем записать F(x) следующим образом:
- F(x) = 0, при x < 1
- F(x) = ∫[1, x] (1/2)(2t - 1) dt, при 1 < x < 2
- F(x) = 1, при x ≥ 2
Вычислим интеграл для 1 < x < 2:
∫(1/2)(2t - 1) dt = (1/2) * [t^2 - t] от 1 до x
= (1/2) * [(x^2 - x) - (1 - 1)] = (1/2)(x^2 - x)
Таким образом, функция распределения:
- F(x) = 0, при x < 1
- F(x) = (1/2)(x^2 - x), при 1 < x < 2
- F(x) = 1, при x ≥ 2
4. **Построение графиков f(x) и F(x)**:
- Для f(x):
- При x < 1: f(x) = 0
- При 1 < x < 2: f(x) = (1/2)(2x - 1) = x - 1/2
- Для F(x):
- При x < 1: F(x) = 0
- При 1 < x < 2: F(x) = (1/2)(x^2 - x)
- При x ≥ 2: F(x) = 1
5. **Нахождение математического ожидания M(X)**:
M(X) = ∫[1, 2] x * f(x) dx
= ∫[1, 2] x * (1/2)(2x - 1) dx
= (1/2) * ∫[1, 2] (2x^2 - x) dx
= (1/2) * [(2/3)x^3 - (1/2)x^2] от 1 до 2
= (1/2) * [(2/3)(8) - (1/2)(4) - ((2/3)(1) - (1/2)(1))]
= (1/2) * [(16/3) - 2 - (2/3 - 1/2)]
= (1/2) * [(16/3) - 2 - (2/3 - 3/6)]
= (1/2) * [(16/3) - 2 - (1/6)]
= (1/2) * [(16/3) - (12/6) - (1/6)]
= (1/2) * [(16/3) - (13/6)]
= (1/2) * [(32/6) - (13/6)]
= (1/2) * (19/6)
= 19/12
6. **Нахождение дисперсии D(X)**:
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2
M(X^2) = ∫[1, 2] x^2 * f(x) dx
= ∫[