Решение:
1. Поскольку у нас есть система из 4 линейных уравнений с 4 неизвестными, мы можем записать её в виде матрицы коэффициентов A и вектора свободных членов b.
2. Если система имеет бесчисленное множество решений, это означает, что она не является полным ранговым. В данном случае, ранг матрицы A будет меньше, чем количество неизвестных.
3. Максимальное количество свободных неизвестных в системе определяется как разница между количеством неизвестных и рангом матрицы A.
4. Минимальное количество свободных неизвестных будет равно 1, так как для бесконечного множества решений должно быть хотя бы одно свободное неизвестное.
5. Таким образом, если ранг матрицы A равен r, то количество свободных неизвестных k будет равно:
k = n — r, где n — количество неизвестных (в нашем случае n = 4).
6. Поскольку система имеет бесчисленное множество решений, ранг r может принимать значения от 0 до 3 (поскольку ранг не может быть равен 4, иначе система имела бы единственное решение).
7. Если ранг r = 3, то количество свободных неизвестных k = 4 — 3 = 1 (минимальное количество свободных неизвестных).
8. Если ранг r = 2, то количество свободных неизвестных k = 4 — 2 = 2.
9. Если ранг r = 1, то количество свободных неизвестных k = 4 — 1 = 3.
10. Если ранг r = 0, то количество свободных неизвестных k = 4 — 0 = 4 (максимальное количество свободных неизвестных).
11. Таким образом, максимальное количество свободных неизвестных равно 4, а минимальное количество свободных неизвестных равно 1.
Ответ: Максимальное количество свободных неизвестных — 4, минимальное количество свободных неизвестных — 1.