Решение:
1. **Найдем скалярное произведение векторов a и b (a∙b)**:
Скалярное произведение двух векторов a(x1, y1, z1) и b(x2, y2, z2) вычисляется по формуле:
a∙b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2.
Подставим значения:
a = (-1, -1, 4), b = (5, 2, 1).
a∙b = (-1)*5 + (-1)*2 + 4*1 = -5 — 2 + 4 = -3.
Ответ: a∙b = -3.
2. **Найдем векторное произведение векторов a и b (a×b)**:
Векторное произведение двух векторов a и b в трехмерном пространстве можно найти по формуле:
a×b = (y1*z2 — z1*y2, z1*x2 — x1*z2, x1*y2 — y1*x2).
Подставим значения:
a = (-1, -1, 4), b = (5, 2, 1).
x1 = -1, y1 = -1, z1 = 4,
x2 = 5, y2 = 2, z2 = 1.
Теперь вычислим компоненты:
1) Первая компонента: (-1)*1 — 4*2 = -1 — 8 = -9.
2) Вторая компонента: 4*5 — (-1)*1 = 20 + 1 = 21.
3) Третья компонента: (-1)*2 — (-1)*5 = -2 + 5 = 3.
Таким образом, a×b = (-9, 21, 3).
Ответ: a×b = (-9, 21, 3).
3. **Найдем длину вектора b (||b||)**:
Длина вектора b вычисляется по формуле:
||b|| = sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2).
Подставим значения:
b = (5, 2, 1).
||b|| = sqrt(5^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt(25 + 4 + 1) = sqrt(30).
Ответ: ||b|| = sqrt(30).
Итак, окончательные ответы:
1) a∙b = -3,
2) a×b = (-9, 21, 3),
3) ||b|| = sqrt(30).