Решение:
Для задачи минимизации min { (1/2)x^T x + c^T x | Ax ≤ b }, где Q = { x ∈ R^n | Ax ≤ b }, мы будем использовать барьерный метод с логарифмическим барьером.
1. **Формулировка задачи**:
Мы хотим минимизировать целевую функцию f(x) = (1/2)x^T x + c^T x с учетом ограничений Ax ≤ b. Для этого мы вводим логарифмический барьер, который позволяет учитывать ограничения.
2. **Логарифмический барьер**:
Мы добавляем к целевой функции логарифмический барьер, который выглядит следующим образом:
L(x, μ) = (1/2)x^T x + c^T x — μ * Σ log(b_i — a_i^T x),
где μ > 0 — параметр барьера, a_i — строки матрицы A, b_i — компоненты вектора b.
3. **Метод Ньютона**:
Для решения задачи мы будем использовать метод Ньютона. На каждом шаге мы будем находить направление спуска, решая систему линейных уравнений, которая возникает из второго порядка условий оптимальности (условия ККТ).
4. **Сложность решения системы линейных уравнений**:
Система линейных уравнений, которую нужно решить на каждом шаге метода Ньютона, имеет вид:
H(x_k) Δx = -g(x_k),
где H(x_k) — Гессиан функции L(x, μ), а g(x_k) — градиент функции L(x, μ).
5. **Гессиан и градиент**:
Градиент g(x) = x + c — μ * A^T diag(1/(b — Ax)) A.
Гессиан H(x) = I + μ * A^T diag(1/(b — Ax)^2) A.
6. **Сложность в зависимости от m и n**:
— **Случай m >> n**:
В этом случае матрица A имеет много строк по сравнению с количеством переменных. Решение системы линейных уравнений может быть сложным, так как матрица H(x) может быть плохо обусловленной. Однако, если мы используем методы, такие как QR-разложение или SVD, сложность будет O(mn^2) для решения системы.
— **Случай m << n**:
Здесь количество ограничений меньше, чем количество переменных. В этом случае матрица H(x) будет иметь размер n x n, и мы можем использовать методы, такие как LU-разложение. Сложность будет O(n^3) для решения системы.
7. **Итог**:
Сложность решения системы линейных уравнений в методе Ньютона для барьерного метода с логарифмическим барьером зависит от соотношения m и n:
- Если m >> n, сложность O(mn^2).
— Если m << n, сложность O(n^3).
Таким образом, мы получили оценку сложности решения системы линейных уравнений в зависимости от соотношения между количеством ограничений и количеством переменных.