Решение:
1. Определим пространство X и Y. У нас есть X = C[0;1], что означает пространство непрерывных функций на отрезке [0, 1]. Y = L1[0;1] — это пространство интегрируемых функций на том же отрезке.
2. Теперь рассмотрим отображение F: X1 → Y, заданное как F(x)(t) = sin(x^2(t)). Здесь x принадлежит X1, а t принадлежит [0, 1].
3. Найдем область определения X1. Для этого нам нужно, чтобы F(x) принадлежало Y. Это означает, что функция F(x)(t) должна быть интегрируемой на отрезке [0, 1]. Поскольку sin(x^2(t)) всегда ограничена (значения находятся в диапазоне от -1 до 1), мы можем утверждать, что F(x) будет интегрируемой для любой непрерывной функции x(t) на [0, 1]. Таким образом, X1 = X = C[0;1].
4. Теперь проверим, является ли отображение F непрерывным в точке x0, где x0 принадлежит X1. Для этого нужно показать, что если x_n → x0 в C[0;1], то F(x_n) → F(x0) в L1[0;1].
5. Рассмотрим разность ||F(x_n) — F(x0)||_1, где ||.||_1 обозначает норму L1. Мы имеем:
||F(x_n) — F(x0)||_1 = ∫_0^1 |sin(x_n^2(t)) — sin(x0^2(t))| dt.
6. Используем неравенство треугольника и свойства синуса. Поскольку синус является непрерывной функцией, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывности. Если x_n(t) → x0(t) в C[0;1], то x_n^2(t) → x0^2(t) также в C[0;1].
7. Поскольку синус непрерывный, то sin(x_n^2(t)) → sin(x0^2(t)) в C[0;1]. Это означает, что ||F(x_n) — F(x0)||_1 → 0, что и требуется для доказательства непрерывности.
8. Таким образом, мы показали, что F является непрерывным отображением в точке x0.
Итак, в итоге мы имеем:
— X1 = X.
— Отображение F является непрерывным в точке x0.