Решение:
1. **Определение функции распределения F(x)**:
Функция распределения F(x) задана следующим образом:
— F(x) = 0, если x ≤ 2
— F(x) = ax — 1, если 2 < x < 4
- F(x) = 1, если x ≥ 4
Чтобы найти плотность распределения вероятностей f(x), нужно взять производную функции распределения F(x).
2. **Плотность распределения вероятностей f(x)**:
Плотность вероятности f(x) равна производной F(x):
- f(x) = dF(x)/dx
- f(x) = 0, если x ≤ 2
- f(x) = a, если 2 < x < 4
- f(x) = 0, если x ≥ 4
Таким образом, f(x) = a для 2 < x < 4.
3. **Нахождение неизвестного параметра a**:
Чтобы найти a, нужно использовать условие, что интеграл плотности вероятности по всему пространству равен 1:
∫ f(x) dx = 1 от 2 до 4.
Это дает:
∫(a) dx от 2 до 4 = a * (4 - 2) = 2a = 1.
Следовательно, a = 1/2.
4. **Обновленная плотность распределения**:
Теперь мы можем записать:
- f(x) = 0, если x ≤ 2
- f(x) = 1/2, если 2 < x < 4
- f(x) = 0, если x ≥ 4
5. **Вероятность того, что X примет значение в интервале (α, β)**:
α = 1, β = 3. Мы ищем P(1 < X < 3):
P(1 < X < 3) = ∫ f(x) dx от 2 до 3 = ∫(1/2) dx от 2 до 3 = (1/2) * (3 - 2) = 1/2.
6. **Математическое ожидание M(X)**:
M(X) = ∫ x * f(x) dx от 2 до 4.
M(X) = ∫ x * (1/2) dx от 2 до 4 = (1/2) * [x^2/2] от 2 до 4 = (1/2) * [(16/2) - (4/2)] = (1/2) * (8 - 2) = (1/2) * 6 = 3.
7. **Дисперсия D(X)**:
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2.
Сначала найдем M(X^2):
M(X^2) = ∫ x^2 * f(x) dx от 2 до 4 = ∫ x^2 * (1/2) dx от 2 до 4 = (1/2) * [x^3/3] от 2 до 4 = (1/2) * [(64/3) - (8/3)] = (1/2) * (56/3) = 28/3.
Теперь D(X) = 28/3 - 3^2 = 28/3 - 9 = 28/3 - 27/3 = 1/3.
8. **Вероятность того, что в результате n независимых испытаний случайная величина X примет k раз значение**:
Для k = 75 и n = 120, мы используем биномиальное распределение:
P(k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k), где p = 1/2.
P(75) = C(120, 75) * (1/2)^75 * (1/2)^(120 - 75) = C(120, 75) * (1/2)^120.
Таким образом, мы нашли все необходимые значения и вероятности.