Решение:
1. Начнем с упрощения интеграла. Мы имеем интеграл вида:
∫ (dx / (x^2 * (3x + 5)))
2. Разделим дробь на два множителя:
∫ (dx / (x^2 * (3x + 5))) = ∫ (1 / (x^2 * (3x + 5))) dx
3. Для упрощения интеграла можно использовать метод разложения на простейшие дроби. Мы можем представить дробь в виде:
1 / (x^2 * (3x + 5)) = A/x + B/x^2 + C/(3x + 5)
где A, B и C — некоторые константы, которые мы найдем.
4. Умножим обе стороны на знаменатель x^2 * (3x + 5):
1 = A * x * (3x + 5) + B * (3x + 5) + C * x^2
5. Раскроем скобки и соберем подобные члены:
1 = (3A + C)x^2 + (5A + 3B)x + 5B
6. Теперь приравняем коэффициенты с обеих сторон уравнения. Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:
3A + C = 0 (коэффициент при x^2)
5A + 3B = 0 (коэффициент при x)
5B = 1 (свободный член)
7. Из последнего уравнения находим B:
B = 1/5
8. Подставим B в уравнение 2:
5A + 3(1/5) = 0
5A + 3/5 = 0
5A = -3/5
A = -3/25
9. Теперь подставим A в уравнение 1:
3(-3/25) + C = 0
-9/25 + C = 0
C = 9/25
10. Теперь мы можем записать разложение на простейшие дроби:
1 / (x^2 * (3x + 5)) = -3/25 * (1/x) + 1/5 * (1/x^2) + 9/25 * (1/(3x + 5))
11. Теперь интегрируем каждую часть:
∫ (-3/25 * (1/x)) dx = -3/25 * ln|x| + C1
∫ (1/5 * (1/x^2)) dx = -1/5 * (1/x) + C2
∫ (9/25 * (1/(3x + 5))) dx = (9/75) * ln|3x + 5| + C3
12. Объединим все части:
∫ (dx / (x^2 * (3x + 5))) = -3/25 * ln|x| — 1/5 * (1/x) + (9/75) * ln|3x + 5| + C
13. Упростим ответ:
∫ (dx / (x^2 * (3x + 5))) = -3/25 * ln|x| — 1/(5x) + (3/25) * ln|3x + 5| + C
Таким образом, окончательный ответ:
∫ (dx / (x^2 * (3x + 5))) = -3/25 * ln|x| — 1/(5x) + (3/25) * ln|3x + 5| + C