Решение:
Мы хотим вычислить интеграл функции f(x) = (x — 2) / (x^2 — 5x + 7).
1. **Разложение на простейшие дроби**:
Сначала мы проверим, можно ли разложить дробь на простейшие дроби. Для этого нам нужно упростить дробь.
2. **Проверка знаменателя**:
Знаменатель x^2 — 5x + 7 не раскладывается на линейные множители, так как его дискриминант D = (-5)^2 — 4*1*7 = 25 — 28 = -3 < 0. Это значит, что он не имеет действительных корней.
3. **Интегрирование**:
Мы можем использовать метод интегрирования с помощью подстановки. Для этого мы можем сделать подстановку u = x^2 - 5x + 7. Тогда du/dx = 2x - 5, или du = (2x - 5)dx.
Однако, в нашем случае, мы можем также разделить интеграл на две части:
I = ∫(x - 2) / (x^2 - 5x + 7) dx = ∫(x / (x^2 - 5x + 7)) dx - ∫(2 / (x^2 - 5x + 7)) dx.
4. **Первый интеграл**:
Для первого интеграла ∫(x / (x^2 - 5x + 7)) dx, мы можем использовать подстановку u = x^2 - 5x + 7, тогда du = (2x - 5)dx, и мы можем выразить dx через du.
Однако, проще будет заметить, что производная x^2 - 5x + 7 равна 2x - 5, и мы можем выразить x dx через du.
5. **Второй интеграл**:
Для второго интеграла ∫(2 / (x^2 - 5x + 7)) dx, мы можем использовать формулу для интеграла вида ∫(1 / (ax^2 + bx + c)) dx.
В данном случае, мы можем привести знаменатель к стандартному виду, добавив и вычтя (5/2)^2.
x^2 - 5x + 7 = (x - 5/2)^2 + 7 - (5/2)^2 = (x - 5/2)^2 + 7 - 25/4 = (x - 5/2)^2 + 3/4.
6. **Итог**:
После выполнения всех шагов, мы получаем, что интеграл можно выразить через логарифмическую и арктангенсную функции.
Таким образом, окончательный ответ будет включать логарифм и арктангенс.
Ответ: ∫(x - 2) / (x^2 - 5x + 7) dx = (1/2)ln|x^2 - 5x + 7| - (2/√3)arctan((2(x - 5/2))/√3) + C, где C - константа интегрирования.