Решение:
1. Начнем с упрощения подкоренного выражения. Мы имеем выражение x^2 + 4x + 5. Чтобы упростить его, мы можем привести его к квадрату. Для этого найдем полный квадрат:
x^2 + 4x + 4 + 1 = (x + 2)^2 + 1.
Таким образом, мы можем переписать интеграл:
∫ (x / √(x^2 + 4x + 5)) dx = ∫ (x / √((x + 2)^2 + 1)) dx.
2. Теперь сделаем замену переменной. Пусть u = x + 2, тогда x = u — 2 и dx = du. Подставим это в интеграл:
∫ ((u — 2) / √(u^2 + 1)) du.
3. Разделим интеграл на два:
∫ (u / √(u^2 + 1)) du — ∫ (2 / √(u^2 + 1)) du.
4. Теперь решим первый интеграл ∫ (u / √(u^2 + 1)) du. Для этого используем замену t = u^2 + 1, тогда dt = 2u du, и du = dt / (2u). Таким образом, интеграл становится:
(1/2) ∫ (1 / √t) dt = (1/2) * 2√t + C = √(u^2 + 1) + C.
5. Теперь решим второй интеграл ∫ (2 / √(u^2 + 1)) du. Этот интеграл равен 2 * arcsinh(u) + C, где arcsinh(u) — это обратная гиперболическая функция.
6. Объединим результаты:
∫ (x / √(x^2 + 4x + 5)) dx = √(u^2 + 1) — 2 * arcsinh(u) + C.
7. Подставим обратно u = x + 2:
= √((x + 2)^2 + 1) — 2 * arcsinh(x + 2) + C.
8. Упростим окончательный ответ:
= √(x^2 + 4x + 5) — 2 * arcsinh(x + 2) + C.
Таким образом, окончательный ответ:
∫ (x / √(x^2 + 4x + 5)) dx = √(x^2 + 4x + 5) — 2 * arcsinh(x + 2) + C.