Решение:
Для нахождения предела lim (x -> 0) sin(7x) * ctg(5x) начнем с разложения функций в окрестности нуля.
1. Напомним, что ctg(x) = cos(x) / sin(x). Таким образом, ctg(5x) = cos(5x) / sin(5x).
2. Подставим это в предел:
lim (x -> 0) sin(7x) * ctg(5x) = lim (x -> 0) sin(7x) * (cos(5x) / sin(5x)).
3. Перепишем предел:
lim (x -> 0) (sin(7x) * cos(5x)) / sin(5x).
4. Теперь рассмотрим предел числителя и знаменателя отдельно.
5. Известно, что lim (x -> 0) sin(kx) / x = k для любого k. Поэтому:
— lim (x -> 0) sin(7x) / (7x) = 1, следовательно, sin(7x) ~ 7x при x -> 0.
— lim (x -> 0) sin(5x) / (5x) = 1, следовательно, sin(5x) ~ 5x при x -> 0.
6. Теперь подставим эти приближения в предел:
lim (x -> 0) (7x * cos(5x)) / (5x).
7. Упростим:
= lim (x -> 0) (7 * cos(5x)) / 5.
8. При x -> 0, cos(5x) стремится к cos(0) = 1.
9. Таким образом, предел становится:
= (7 * 1) / 5 = 7 / 5.
Ответ: 7 / 5.