Решение:
1. Рассмотрим первую часть задачи: lim (x→0) (sin(ax) * cos(bx) / sin(cx)).
— Для начала, подставим x = 0 в выражение. Мы получим 0/0, что является неопределённостью. Поэтому применим правило Лопиталя.
— Найдем производные числителя и знаменателя:
— Производная числителя: d/dx [sin(ax) * cos(bx)] = a * cos(ax) * cos(bx) — b * sin(ax) * sin(bx).
— Производная знаменателя: d/dx [sin(cx)] = c * cos(cx).
— Теперь применим правило Лопиталя:
lim (x→0) (sin(ax) * cos(bx) / sin(cx)) = lim (x→0) (a * cos(ax) * cos(bx) — b * sin(ax) * sin(bx)) / (c * cos(cx)).
— Подставим x = 0:
— cos(0) = 1, sin(0) = 0, поэтому:
— Числитель: a * 1 * 1 — b * 0 * 0 = a.
— Знаменатель: c * 1 = c.
— Таким образом, lim (x→0) (sin(ax) * cos(bx) / sin(cx)) = a / c.
2. Теперь рассмотрим вторую часть задачи: lim (x→0) (1 — cos(2x) / x^2).
— Подставим x = 0 в выражение. Мы получим 0/0, что также является неопределённостью. Применим правило Лопиталя.
— Найдем производные числителя и знаменателя:
— Производная числителя: d/dx [1 — cos(2x)] = 2 * sin(2x).
— Производная знаменателя: d/dx [x^2] = 2x.
— Применим правило Лопиталя:
lim (x→0) (1 — cos(2x) / x^2) = lim (x→0) (2 * sin(2x) / (2x)).
— Упростим:
= lim (x→0) (sin(2x) / x).
— Это выражение можно переписать как:
= lim (x→0) (sin(2x) / (2x)) * 2.
— Известно, что lim (x→0) (sin(kx) / (kx)) = 1, следовательно:
lim (x→0) (sin(2x) / (2x)) = 1.
— Таким образом, lim (x→0) (1 — cos(2x) / x^2) = 1 * 2 = 2.
3. Подводим итог:
— Первая часть: lim (x→0) (sin(ax) * cos(bx) / sin(cx)) = a / c.
— Вторая часть: lim (x→0) (1 — cos(2x) / x^2) = 2.
Ответ: a / c и 2.