Решение:
Мы хотим найти предел функции lim(x->2) (x^2 — 4) / (x^2 — 3x).
1. Подставим x = 2 в числитель и знаменатель:
— Числитель: 2^2 — 4 = 4 — 4 = 0
— Знаменатель: 2^2 — 3*2 = 4 — 6 = -2
Мы видим, что числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. Это означает, что мы можем подставить значение x = 2 в предел.
2. Поскольку числитель равен 0, мы можем упростить дробь. Заметим, что числитель x^2 — 4 можно разложить на множители:
— x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)
3. Теперь перепишем предел:
lim(x->2) (x — 2)(x + 2) / (x^2 — 3x)
4. Знаменатель x^2 — 3x также можно разложить на множители:
— x^2 — 3x = x(x — 3)
5. Теперь предел выглядит так:
lim(x->2) ((x — 2)(x + 2)) / (x(x — 3))
6. Подставим x = 2 в упрощенную дробь:
— Числитель: (2 — 2)(2 + 2) = 0 * 4 = 0
— Знаменатель: 2(2 — 3) = 2 * (-1) = -2
Мы снова получаем 0 в числителе, но можем заметить, что (x — 2) сокращается.
7. Упростим дробь, исключив (x — 2):
lim(x->2) (x + 2) / (x(x — 3))
8. Теперь подставим x = 2:
— Числитель: 2 + 2 = 4
— Знаменатель: 2(2 — 3) = 2 * (-1) = -2
9. Теперь мы можем найти предел:
lim(x->2) (4) / (-2) = 4 / (-2) = -2
Таким образом, предел равен -2.
Ответ: -2