Решение:
1. Начнем с функции f(x) = (x + 2)/(3 + (4x)/(3x — 9)). Чтобы найти область значений, сначала упростим выражение.
2. Упростим знаменатель: 3 + (4x)/(3x — 9). Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель будет (3x — 9).
3. Запишем 3 в виде дроби: 3 = (3(3x — 9))/(3x — 9) = (9x — 27)/(3x — 9).
4. Теперь сложим дроби:
(9x — 27)/(3x — 9) + (4x)/(3x — 9) = (9x — 27 + 4x)/(3x — 9) = (13x — 27)/(3x — 9).
5. Теперь подставим это обратно в функцию: f(x) = (x + 2)/((13x — 27)/(3x — 9)) = (x + 2) * ((3x — 9)/(13x — 27)).
6. Упростим: f(x) = (x + 2)(3x — 9)/(13x — 27).
7. Теперь найдем область значений. Для этого определим, когда функция не определена. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю.
8. Найдем, когда 13x — 27 = 0:
13x = 27
x = 27/13.
9. Теперь найдем, когда 3x — 9 = 0:
3x = 9
x = 3.
10. Таким образом, функция не определена в точках x = 3 и x = 27/13.
11. Теперь рассмотрим поведение функции на интервалах (-∞, 3), (3, 27/13) и (27/13, +∞).
12. Для x < 3, например, x = 0: f(0) = (0 + 2)(3*0 - 9)/(13*0 - 27) = (2)(-9)/(-27) = 6. 13. Для 3 < x < 27/13, например, x = 2: f(2) = (2 + 2)(3*2 - 9)/(13*2 - 27) = (4)(6 - 9)/(26 - 27) = (4)(-3)/(-1) = 12. 14. Для x > 27/13, например, x = 4: f(4) = (4 + 2)(3*4 — 9)/(13*4 — 27) = (6)(12 — 9)/(52 — 27) = (6)(3)/(25) = 18/25.
15. Теперь проанализируем поведение функции на границах. При x стремящемся к 3, функция стремится к бесконечности, а при x стремящемся к 27/13, функция также стремится к бесконечности.
16. Таким образом, область значений функции f(x) будет от -∞ до +∞, кроме значений, которые могут быть пропущены в результате разрыва.
17. В итоге, область значений функции f(x) = (x + 2)/(3 + (4x)/(3x — 9) будет равна R, за исключением значений, которые не достигаются в точках разрыва.
Ответ: Область значений функции: R (все действительные числа).