Решение:
1. **Найдем векторы AB и AD**. Для этого используем векторы AC и BD. Параллелограмм ABCD можно представить через векторы AC и BD. Векторы AB и AD можно выразить через векторы AC и BD следующим образом:
— AB = AC — AD
— AD = AC — AB
Однако, для нахождения площади параллелограмма, нам нужно использовать векторы AC и BD напрямую.
2. **Найдем площадь параллелограмма ABCD**. Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
Площадь = |AC x BD|, где «x» обозначает векторное произведение.
Векторы:
AC = (5, -2, 1)
BD = (-8, -6, 2)
3. **Вычислим векторное произведение AC и BD**:
AC x BD = |i j k|
|5 -2 1|
|-8 -6 2|
Вычисляем определитель:
= i((-2)*2 — 1*(-6)) — j(5*2 — 1*(-8)) + k(5*(-6) — (-2)*(-8))
= i(-4 + 6) — j(10 + 8) + k(-30 — 16)
= i(2) — j(18) + k(-46)
Таким образом, векторное произведение AC x BD = (2, -18, -46).
4. **Найдем длину вектора AC x BD**:
|AC x BD| = sqrt(2^2 + (-18)^2 + (-46)^2)
= sqrt(4 + 324 + 2116)
= sqrt(2444)
= sqrt(4 * 611)
= 2 * sqrt(611).
5. **Найдем площадь параллелограмма ABCD**:
Площадь ABCD = |AC x BD| = 2 * sqrt(611).
6. **Теперь найдем площадь параллелограмма A’B’C’D’**. Площадь проекции параллелограмма на плоскость, перпендикулярную вектору n, равна площади параллелограмма ABCD, умноженной на косинус угла между нормалью и вектором, перпендикулярным к плоскости параллелограмма.
Для этого найдем нормализованный вектор n:
n = (1, 2, 2)
|n| = sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3.
Нормализованный вектор n = (1/3, 2/3, 2/3).
7. **Найдем вектор, перпендикулярный к плоскости параллелограмма ABCD**. Это вектор, равный векторному произведению AC и BD, который мы уже нашли.
8. **Найдем угол между векторами**. Для этого используем скалярное произведение:
cos(θ) = (AC x BD) • n / (|AC x BD| * |n|).
Скалярное произведение:
(2, -18, -46) • (1/3, 2/3, 2/3) = 2*(1/3) + (-18)*(2/3) + (-46)*(2/3)
= (2/3) + (-36/3) + (-92/3)
= (2 — 36 — 92) / 3
= -126 / 3
= -42.
Теперь подставим в формулу:
cos(θ) = -42 / (2 * sqrt(611) * 1) = -21 / sqrt(611).
9. **Площадь проекции A’B’C’D’**:
Площадь A’B’C’D’ = Площадь ABCD * |cos(θ)|.
Площадь A’B’C’D’ = (2 * sqrt(611)) * (21 / sqrt(611)) = 42.
Таким образом, площадь параллелограмма A’B’C’D’ равна 42.