Решение:
1. **Записать функцию и ограничения**:
Мы имеем линейную функцию L(x) = 2×1 + 3×2 + 1 и следующие ограничения:
— x1 + x2 >= 1
— x1 — 2×2 <= 2
- 2x1 - x2 >= -2
— 0 <= x1 <= 4
- 0 <= x2 <= 4
2. **Найти область допустимых решений**:
Для этого мы построим график ограничений и определим область, где все ограничения выполняются.
- Первое ограничение: x1 + x2 = 1 (прямая, которая проходит через точки (1, 0) и (0, 1)).
- Второе ограничение: x1 - 2x2 = 2 (прямая, которая проходит через точки (2, 0) и (0, -1), но мы ограничены x2 >= 0).
— Третье ограничение: 2×1 — x2 = -2 (прямая, которая проходит через точки (-1, 0) и (0, 2)).
— Четвертое и пятое ограничения задают границы для x1 и x2.
3. **Найти точки пересечения ограничений**:
Мы найдем точки пересечения всех прямых, чтобы определить вершины области допустимых решений.
— Пересечение x1 + x2 = 1 и x1 — 2×2 = 2:
Подставляем x1 = 1 — x2 в x1 — 2×2 = 2:
1 — x2 — 2×2 = 2 => 1 — 3×2 = 2 => -3×2 = 1 => x2 = -1/3 (не подходит, так как x2 >= 0).
— Пересечение x1 + x2 = 1 и 2×1 — x2 = -2:
Подставляем x1 = 1 — x2 в 2×1 — x2 = -2:
2(1 — x2) — x2 = -2 => 2 — 2×2 — x2 = -2 => -3×2 = -4 => x2 = 4/3, x1 = 1 — 4/3 = -1/3 (не подходит).
— Пересечение x1 — 2×2 = 2 и 2×1 — x2 = -2:
Решаем систему:
x1 — 2×2 = 2
2×1 — x2 = -2
Умножим первое уравнение на 2: 2×1 — 4×2 = 4
Теперь вычтем второе уравнение: -4×2 + x2 = 4 + 2 => -3×2 = 6 => x2 = -2 (не подходит).
— Пересечение 2×1 — x2 = -2 и x2 = 0:
2×1 = -2 => x1 = -1 (не подходит).
— Пересечение 2×1 — x2 = -2 и x1 = 4:
2(4) — x2 = -2 => 8 — x2 = -2 => x2 = 10 (не подходит).
— Пересечение x1 + x2 = 1 и x2 = 0:
x1 + 0 = 1 => x1 = 1, точка (1, 0).
— Пересечение x1 + x2 = 1 и x1 = 0:
0 + x2 = 1 => x2 = 1, точка (0, 1).
— Пересечение x1 + x2 = 1 и x1 = 4:
4 + x2 = 1 => x2 = -3 (не подходит).
— Пересечение x1 — 2×2 = 2 и x2 = 0:
x1 = 2, точка (2, 0).
— Пересечение x1 — 2×2 = 2 и x1 = 4:
4 — 2×2 = 2 => 2 = 2×2 => x2 = 1, точка (4, 1).
— Пересечение 2×1 — x2 = -2 и x2 = 0:
2×1 = —