Решение:
1. **Определим функцию**: Нам дана функция f(x) = x + sin(x).
2. **Найдем производную**: Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную:
f'(x) = 1 + cos(x).
3. **Найдем критические точки**: Установим производную равной нулю:
1 + cos(x) = 0.
Это уравнение можно переписать как cos(x) = -1.
Решения этого уравнения на интервале (-π/2; π/2) происходит в точке x = -π/2.
4. **Проверим границы отрезка**: Также необходимо проверить значения функции на границах отрезка:
— f(-π/2) = -π/2 + sin(-π/2) = -π/2 — 1 = -π/2 — 1.
— f(π/2) = π/2 + sin(π/2) = π/2 + 1 = π/2 + 1.
5. **Найдем значение в критической точке**: Теперь найдем значение функции в критической точке x = -π/2:
f(-π/2) = -π/2 — 1.
6. **Сравним значения**: Теперь сравним все найденные значения:
— f(-π/2) = -π/2 — 1,
— f(π/2) = π/2 + 1.
7. **Определим наибольшее и наименьшее значение**:
— Наименьшее значение: f(-π/2) = -π/2 — 1.
— Наибольшее значение: f(π/2) = π/2 + 1.
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке (-π/2; π/2) равно -π/2 — 1, а наибольшее значение равно π/2 + 1.