Решение:
1. **Найдем точки пересечения кривых**. Для этого приравняем уравнения двух функций:
y = -x^2 + 4x — 1 и y = -x — 1.
Получаем уравнение:
-x^2 + 4x — 1 = -x — 1.
Переносим все в одну сторону:
-x^2 + 4x — 1 + x + 1 = 0,
-x^2 + 5x = 0.
Выносим x за скобки:
x(-x + 5) = 0.
Таким образом, x = 0 или x = 5.
2. **Найдем соответствующие значения y**. Подставим x = 0 в одно из уравнений (например, y = -x — 1):
y = -0 — 1 = -1.
Подставим x = 5:
y = -5 — 1 = -6.
Таким образом, точки пересечения: (0, -1) и (5, -6).
3. **Найдем площадь фигуры, ограниченной этими кривыми**. Площадь можно найти, вычислив интеграл от верхней функции до нижней функции на интервале от 0 до 5.
Верхняя функция: y = -x^2 + 4x — 1.
Нижняя функция: y = -x — 1.
Площадь S вычисляется по формуле:
S = ∫[0, 5] (верхняя функция — нижняя функция) dx.
Подставляем функции:
S = ∫[0, 5] ((-x^2 + 4x — 1) — (-x — 1)) dx,
S = ∫[0, 5] (-x^2 + 4x — 1 + x + 1) dx,
S = ∫[0, 5] (-x^2 + 5x) dx.
4. **Вычислим интеграл**:
S = ∫[0, 5] (-x^2 + 5x) dx.
Находим первообразную:
∫(-x^2) dx = -x^3/3,
∫(5x) dx = (5/2)x^2.
Таким образом, первообразная:
F(x) = -x^3/3 + (5/2)x^2.
5. **Вычислим определенный интеграл от 0 до 5**:
F(5) = -5^3/3 + (5/2)(5^2) = -125/3 + (5/2)(25) = -125/3 + 125/2.
Приведем к общему знаменателю:
-125/3 + 125/2 = -250/6 + 375/6 = 125/6.
F(0) = 0.
Таким образом, S = F(5) — F(0) = 125/6 — 0 = 125/6.
6. **Ответ**: Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 125/6.