Решение:
1. **Определим функцию**: У нас есть функция y = e^(-x^2/2).
2. **Найдем первую производную**: Для нахождения точки перегиба нам нужно найти первую производную функции. Используем правило производной для произведения и цепное правило:
y’ = d/dx (e^(-x^2/2)) = e^(-x^2/2) * d/dx (-x^2/2) = e^(-x^2/2) * (-x).
Таким образом, первая производная:
y’ = -x * e^(-x^2/2).
3. **Найдем вторую производную**: Теперь найдем вторую производную, чтобы определить точки перегиба. Используем правило произведения:
y» = d/dx (-x * e^(-x^2/2)) = -e^(-x^2/2) + x * d/dx (e^(-x^2/2)).
Мы уже нашли d/dx (e^(-x^2/2)), поэтому подставим:
y» = -e^(-x^2/2) + x * (-x * e^(-x^2/2)) = -e^(-x^2/2) — x^2 * e^(-x^2/2).
Объединим:
y» = -e^(-x^2/2) * (1 + x^2).
4. **Найдем точки перегиба**: Точка перегиба находится, когда вторая производная равна нулю или не определена. Установим y» = 0:
-e^(-x^2/2) * (1 + x^2) = 0.
Поскольку e^(-x^2/2) никогда не равно нулю, мы можем упростить уравнение до:
1 + x^2 = 0.
Это уравнение не имеет действительных решений, так как x^2 >= 0 для всех x.
5. **Вывод**: Поскольку у уравнения 1 + x^2 = 0 нет действительных решений, это означает, что график функции y = e^(-x^2/2) не имеет точек перегиба.
Таким образом, ответ: у функции y = e^(-x^2/2) нет точек перегиба.