Решение:
1. **Запишем функцию**: y = x^2 — 3|x| + x.
2. **Разделим функцию на два случая** в зависимости от значения x, так как функция содержит модуль |x|:
— Для x >= 0: |x| = x, тогда y = x^2 — 3x + x = x^2 — 2x.
— Для x < 0: |x| = -x, тогда y = x^2 + 3x + x = x^2 + 4x.
3. **Найдем корни для каждого случая**:
- Для x >= 0: y = x^2 — 2x. Найдем, когда y = c:
x^2 — 2x — c = 0.
Дискриминант D1 = (-2)^2 — 4*1*(-c) = 4 + 4c = 4(1 + c).
— Для x < 0: y = x^2 + 4x. Найдем, когда y = c:
x^2 + 4x - c = 0.
Дискриминант D2 = 4^2 - 4*1*(-c) = 16 + 4c = 4(4 + c).
4. **Определим условия для количества корней**:
- Для функции y = x^2 - 2x: чтобы было 2 корня, D1 > 0, то есть 4(1 + c) > 0, что дает c > -1.
— Для функции y = x^2 + 4x: чтобы было 1 корень, D2 = 0, то есть 4(4 + c) = 0, что дает c = -4.
5. **Теперь определим, при каких значениях c прямая y = c имеет ровно три общие точки с графиком**:
— Если c > -1, то для x >= 0 будет 2 корня, а для x < 0 при c = -4 будет 1 корень. Это дает в сумме 3 общие точки.
- Если c = -4, то для x >= 0 будет 2 корня, а для x < 0 будет 0 корней, что не подходит.
- Если c < -4, то для x >= 0 будет 2 корня, а для x < 0 будет 2 корня, что в сумме 4 точки.
6. **Таким образом, мы можем заключить**:
- Прямая y = c имеет ровно три общие точки с графиком функции y = x^2 - 3|x| + x при c > -1 и c < -4.
7. **Ответ**: Прямая y = c имеет ровно три общие точки с графиком функции при c = -4.