Решение:
1. **Определим векторы a и b**:
a = (2, -1, 2)
b = (3, 0, -1)
2. **Найдем длину вектора a**:
|a| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(4 + 1 + 4) = sqrt(9) = 3.
3. **Поскольку |c| = |a|, то |c| также равно 3**.
4. **Условие c ⊥ a** означает, что скалярное произведение векторов c и a равно нулю:
c · a = 0.
5. **Запишем вектор c в общем виде**:
c = (x, y, z).
6. **Запишем уравнение для условия ортогональности**:
c · a = 2x — y + 2z = 0. (Уравнение 1)
7. **Условие компланарности векторов a, b и c** означает, что объем параллелепипеда, образованного этими векторами, равен нулю. Это можно выразить через смешанное произведение:
a · (b × c) = 0.
8. **Найдем вектор b × c**:
b × c = |i j k|
|3 0 -1|
|x y z|.
Вычислим это определитель:
b × c = (0*z — (-1)*y, — (3*z — (-1)*x), 3*y — 0*x) = (y, x + 3z, 3y).
9. **Теперь подставим b × c в уравнение для компланарности**:
a · (b × c) = 2*y — 1*(x + 3z) + 2*(3y) = 0.
Упростим это:
2y — x — 3z + 6y = 0,
8y — x — 3z = 0. (Уравнение 2)
10. **Теперь у нас есть две системы уравнений**:
Уравнение 1: 2x — y + 2z = 0,
Уравнение 2: 8y — x — 3z = 0.
11. **Решим эту систему уравнений**. Из уравнения 1 выразим x:
x = (y + 2z) / 2.
12. **Подставим x в уравнение 2**:
8y — (y + 2z)/2 — 3z = 0,
16y — (y + 2z) — 6z = 0,
16y — y — 2z — 6z = 0,
15y — 8z = 0,
y = (8/15)z.
13. **Теперь подставим y в уравнение для x**:
x = ((8/15)z + 2z) / 2 = ((8/15)z + (30/15)z) / 2 = (38/15)z / 2 = (19/15)z.
14. **Теперь у нас есть выражения для x и y через z**:
x = (19/15)z,
y = (8/15)z.
15. **Теперь найдем длину вектора c**:
|c| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = 3.
Подставим x и y:
|c| = sqrt(((19/15)z)^2 + ((8/15)z)^2 + z^2) = 3.
16. **Упростим это уравнение**:
|c| = sqrt((361/225)z^2 + (64/225)z^2 + z^2) = 3,
|c| = sqrt((361 + 64 + 225)/225)z = 3,
|c| = sqrt(650/225)z = 3,
|c| = (sqrt(650)/15)z = 3.
17. **Теперь выразим z**:
z = (3 * 15) / sqrt(650) = 45 / sqrt(650).
18. **Теперь можем найти x и y**:
z