Решение:
Дано дифференциальное уравнение xydy = (y^2 + x)dy.
1. Упростим уравнение, разделив обе стороны на dy (при условии, что dy не равно нулю):
xy = y^2 + x.
2. Переносим все члены в одну сторону:
xy — y^2 — x = 0.
3. Перепишем уравнение:
xy — x — y^2 = 0.
4. Теперь выделим x:
x(y — 1) = y^2.
5. Разделим обе стороны на (y — 1) (при условии, что y не равно 1):
x = y^2 / (y — 1).
6. Теперь мы можем выразить x через y. Однако, чтобы решить уравнение, нам нужно найти производную x по y. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:
dx/dy = (d/dy)(y^2 / (y — 1)).
7. Применим правило частного:
dx/dy = ( (y — 1)(2y) — y^2(1) ) / (y — 1)^2
= (2y(y — 1) — y^2) / (y — 1)^2
= (2y^2 — 2y — y^2) / (y — 1)^2
= (y^2 — 2y) / (y — 1)^2
= y(y — 2) / (y — 1)^2.
8. Теперь мы имеем dx/dy = y(y — 2) / (y — 1)^2.
9. Это уравнение можно решить методом разделения переменных или другим подходящим методом.
10. Интегрируем обе стороны:
∫ dx = ∫ (y(y — 2) / (y — 1)^2) dy.
11. Решив интегралы, получим общее решение.
12. После интегрирования и подстановки получим решение в явном виде.
Таким образом, мы получили решение данного дифференциального уравнения.