Решение:
1. Обозначим заданные вершины параллелограмма: A(-3, 4), B(2, 0) и C(0, 2). Нам нужно найти четвертую вершину D(x, y).
2. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Мы можем использовать свойства параллелограмма для нахождения координат точки D.
3. Сначала найдем вектор AB и вектор AC:
— Вектор AB = B — A = (2 — (-3), 0 — 4) = (5, -4).
— Вектор AC = C — A = (0 — (-3), 2 — 4) = (3, -2).
4. Теперь, чтобы найти координаты точки D, мы можем использовать тот факт, что векторы AB и CD равны, а также векторы AC и BD равны. Таким образом, D можно найти как D = C + (B — A).
5. Подставим значения:
D = C + (B — A) = (0, 2) + (5, -4) = (5, -2).
6. Теперь у нас есть все четыре вершины параллелограмма: A(-3, 4), B(2, 0), C(0, 2) и D(5, -2).
7. Теперь найдем острый угол параллелограмма. Для этого нам нужно найти векторы AB и AD:
— Вектор AB = (5, -4).
— Вектор AD = D — A = (5 — (-3), -2 — 4) = (8, -6).
8. Теперь найдем угол между векторами AB и AD с помощью скалярного произведения:
cos(θ) = (AB * AD) / (|AB| * |AD|), где * — скалярное произведение, |AB| и |AD| — длины векторов.
9. Сначала найдем скалярное произведение:
AB * AD = (5 * 8) + (-4 * -6) = 40 + 24 = 64.
10. Теперь найдем длины векторов:
|AB| = sqrt(5^2 + (-4)^2) = sqrt(25 + 16) = sqrt(41).
|AD| = sqrt(8^2 + (-6)^2) = sqrt(64 + 36) = sqrt(100) = 10.
11. Теперь подставим в формулу:
cos(θ) = 64 / (sqrt(41) * 10).
12. Теперь найдем угол θ:
θ = arccos(64 / (sqrt(41) * 10)).
13. Угол θ будет острым, если значение cos(θ) больше 0. В данном случае, так как 64 и (sqrt(41) * 10) положительные, угол будет острым.
Таким образом, четвертая вершина параллелограмма D(5, -2), а острый угол можно найти, используя арккосинус, как показано выше.