Решение:
Чтобы вычислить объем пирамиды с вершинами A(2, 1, 3), B(4, -2, 0), C(1, 3, -8) и D(7, 5, 2), мы можем использовать формулу для объема пирамиды, заданной координатами её вершин:
V = (1/6) * |(AB x AC) • AD|
где AB, AC и AD — векторы, проведенные из одной вершины (например, A) к другим вершинам.
Шаг 1: Найдем векторы AB, AC и AD.
AB = B — A = (4 — 2, -2 — 1, 0 — 3) = (2, -3, -3)
AC = C — A = (1 — 2, 3 — 1, -8 — 3) = (-1, 2, -11)
AD = D — A = (7 — 2, 5 — 1, 2 — 3) = (5, 4, -1)
Шаг 2: Найдем векторное произведение AB x AC.
AB x AC = |i j k|
|2 -3 -3|
|-1 2 -11|
Вычислим определитель:
= i * ((-3) * (-11) — (-3) * 2) — j * (2 * (-11) — (-3) * (-1)) + k * (2 * 2 — (-3) * (-1))
= i * (33 + 6) — j * (-22 — 3) + k * (4 — 3)
= i * 39 + j * 25 + k * 1
Таким образом, AB x AC = (39, 25, 1).
Шаг 3: Найдем скалярное произведение (AB x AC) • AD.
(AB x AC) • AD = (39, 25, 1) • (5, 4, -1)
= 39 * 5 + 25 * 4 + 1 * (-1)
= 195 + 100 — 1
= 294.
Шаг 4: Найдем объем V.
V = (1/6) * |294| = 49.
Ответ: Объем пирамиды равен 49.