Решение:
Для вычисления предела lim (x -> 0) sin(7x) / tg(9x) воспользуемся известными пределами и свойствами тригонометрических функций.
1. Заменим tg(9x) на sin(9x) / cos(9x). Тогда предел можно переписать так:
lim (x -> 0) sin(7x) / tg(9x) = lim (x -> 0) sin(7x) / (sin(9x) / cos(9x)) = lim (x -> 0) (sin(7x) * cos(9x)) / sin(9x).
2. Теперь мы можем использовать известный предел lim (x -> 0) sin(kx) / (kx) = 1 для любого k. Для этого преобразуем выражение:
lim (x -> 0) (sin(7x) / (7x)) * (7/9) * (cos(9x) / (1)).
3. Разделим предел на два:
lim (x -> 0) (sin(7x) / (7x)) * lim (x -> 0) (7/9) * lim (x -> 0) cos(9x).
4. Теперь вычислим каждый из пределов:
— lim (x -> 0) (sin(7x) / (7x)) = 1,
— lim (x -> 0) (7/9) = 7/9,
— lim (x -> 0) cos(9x) = cos(0) = 1.
5. Подставим найденные значения в предел:
1 * (7/9) * 1 = 7/9.
Таким образом, предел равен 7/9.
Ответ: 7/9.