Решение:
1. **Определим функцию**: Нам дана функция f(x) = x² + 1/(x² — 1).
2. **Определим область определения**:
— Функция определена для всех x, кроме тех, для которых знаменатель равен нулю.
— Знаменатель x² — 1 равен нулю, когда x² = 1, то есть x = 1 и x = -1.
— Таким образом, область определения функции: x ∈ R, x ≠ 1 и x ≠ -1.
3. **Найдем асимптоты**:
— Вертикальные асимптоты находятся в точках, где функция не определена, то есть в x = 1 и x = -1.
— Горизонтальная асимптота: при x стремящемся к бесконечности, f(x) приближается к x², так как 1/(x² — 1) стремится к 0. Следовательно, горизонтальная асимптота отсутствует.
4. **Найдем производную**:
— Для нахождения критических точек, найдем производную f'(x) и приравняем её к нулю.
— f'(x) = 2x — (1 * (2x))/(x² — 1)² = 2x — (2x)/(x² — 1)².
— Приравниваем f'(x) к нулю и решаем уравнение.
5. **Найдем критические точки**:
— Критические точки находятся из уравнения 2x — (2x)/(x² — 1)² = 0.
— Это уравнение имеет решение x = 0.
6. **Исследуем знаки производной**:
— Определим знак производной на интервалах (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, +∞) для нахождения интервалов возрастания и убывания функции.
7. **Найдем значения функции в критических точках и на границах**:
— f(0) = 0² + 1/(0² — 1) = 0 — 1 = -1.
— f(2) = 2² + 1/(2² — 1) = 4 + 1/3 = 4 + 0.33 = 4.33.
— f(-2) = (-2)² + 1/((-2)² — 1) = 4 + 1/3 = 4.33.
8. **Построим график функции**:
— На интервале (-∞, -1) функция убывает, затем в точке x = 0 достигает минимума (-1), после чего на интервале (0, 1) функция возрастает, и в точках x = 1 и x = -1 имеет вертикальные асимптоты.
— На интервале (1, +∞) функция также возрастает.
9. **Подведем итог**:
— График функции имеет вертикальные асимптоты в x = 1 и x = -1, минимум в точке (0, -1) и возрастает на интервалах (-∞, -1) и (0, +∞).
Таким образом, мы составили график функции f(x) = x² + 1/(x² — 1) и проанализировали его свойства.