Решение:
Дано уравнение xy’ — y = xlnx. Это уравнение можно привести к стандартному виду уравнения Бернулли. Для этого мы можем сделать замену функции y = uv, где u — функция, зависящая от x, а v — функция, которую мы будем искать.
1. Подставим y = uv в уравнение:
y’ = u’v + uv’, где u’ — производная u по x, а v’ — производная v по x.
2. Подставим y и y’ в уравнение:
x(u’v + uv’) — uv = xlnx.
3. Раскроем скобки:
xu’v + xuv’ — uv = xlnx.
4. Перепишем уравнение:
xu’v + xuv’ = xlnx + uv.
5. Разделим обе стороны на x:
u’v + uv’ = lnx + (uv)/x.
6. Теперь мы можем выбрать v так, чтобы упростить уравнение. Пусть v = 1/x, тогда v’ = -1/x^2.
7. Подставим v и v’ в уравнение:
u’ * (1/x) + u * (-1/x^2) = lnx + (u * 1/x)/x.
8. Упростим уравнение:
u’/x — u/x^2 = lnx + u/x^2.
9. Переносим все слагаемые, содержащие u, в одну сторону:
u’/x = lnx + 2u/x^2.
10. Умножим обе стороны на x:
u’ = xlnx + 2u/x.
11. Теперь у нас есть линейное уравнение первого порядка относительно u. Приведем его к стандартному виду:
u’ — (2/x)u = xlnx.
12. Найдем интегрирующий множитель:
mu(x) = exp(integral(-2/x)dx) = exp(-2ln|x|) = 1/x^2.
13. Умножим уравнение на интегрирующий множитель:
(u/x^2)’ = ln(x).
14. Интегрируем обе стороны:
u/x^2 = integral(ln(x)dx).
15. Используем интегрирование по частям для ln(x):
integral(ln(x)dx) = xln(x) — x + C.
16. Подставим обратно:
u/x^2 = xln(x) — x + C.
17. Умножим обе стороны на x^2:
u = x^3ln(x) — x^2 + Cx^2.
18. Теперь вспомним, что y = uv, где v = 1/x:
y = (x^3ln(x) — x^2 + Cx^2)(1/x) = x^2ln(x) — x + Cx.
19. Таким образом, общее решение уравнения:
y = x^2ln(x) — x + Cx, где C — произвольная константа.
Ответ: y = x^2ln(x) — x + Cx, где C — произвольная константа.