Решение:
1. Начнем с функции y = arcsin(√x). Чтобы найти производную этой функции, нам нужно использовать правило цепочки.
2. Запишем производную функции y по x. Для этого воспользуемся производной arcsin(u), где u = √x. Производная arcsin(u) равна 1 / √(1 — u^2).
3. Теперь найдем производную u = √x. Производная √x равна 1 / (2√x).
4. Применяя правило цепочки, получаем:
dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = (1 / √(1 — (√x)^2)) * (1 / (2√x)).
5. Упростим выражение:
dy/dx = (1 / √(1 — x)) * (1 / (2√x)) = 1 / (2√x * √(1 — x)).
6. Теперь подставим x = 0.5 в производную:
dy/dx = 1 / (2√(0.5) * √(1 — 0.5)).
7. Вычислим √(0.5) = √(1/2) = 1/√2, и √(1 — 0.5) = √(0.5) = 1/√2.
8. Подставим значения:
dy/dx = 1 / (2 * (1/√2) * (1/√2)) = 1 / (2 * (1/2)) = 1 / 1 = 1.
9. Таким образом, значение производной функции y = arcsin(√x) в точке x = 0.5 равно 1.
Ответ: 1.