Решение:
1. Запишем уравнение: 27x ^ log_27(x) = x ^ (10/3).
2. Заменим 27 на 3^3: (3^3)x ^ log_27(x) = x ^ (10/3).
3. Используем свойство логарифмов: log_27(x) = log_3(x) / log_3(27) = log_3(x) / 3.
4. Подставим в уравнение: (3^3)x ^ (log_3(x) / 3) = x ^ (10/3).
5. Упростим левую часть: 3^3 * x ^ (log_3(x) / 3) = 27 * x ^ (log_3(x) / 3).
6. Представим x в основании 3: x = 3^y, где y = log_3(x).
7. Тогда x^(log_3(x)/3) = (3^y)^(y/3) = 3^(y^2 / 3).
8. Подставим это в уравнение: 27 * 3^(y^2 / 3) = (3^y)^(10/3) = 3^(10y/3).
9. Перепишем уравнение: 3^3 * 3^(y^2 / 3) = 3^(10y/3).
10. Сложим показатели: 3^(3 + y^2 / 3) = 3^(10y/3).
11. Приравняем показатели: 3 + y^2 / 3 = 10y / 3.
12. Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей: 9 + y^2 = 10y.
13. Переносим все влево: y^2 — 10y + 9 = 0.
14. Решим квадратное уравнение с помощью формулы: y = (10 ± √(100 — 36)) / 2 = (10 ± 8) / 2.
15. Получаем два значения: y1 = 9 и y2 = 1.
16. Возвращаемся к x: x = 3^y. Для y1 = 9: x1 = 3^9 = 19683; для y2 = 1: x2 = 3^1 = 3.
17. Ответ: x = 3 и x = 19683.